例析集合思想在简易逻辑中的应用

刘希栋

摘 要：集合语言是现代数学的基本语言，集合思想已成为现代数学的理论基础. 学习语言最好的方法是“使用”，在教学中要创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境与机会. 本文通过具体案例谈集合思想在简易逻辑中的应用.

关键词：集合思想；简易逻辑；应用

问题提出

集合论是德国数学家康托在19世纪末创立的，集合是现代数学中的一个重要概念，集合语言是现代数学的基本语言. 集合思想已成为现代数学的理论基础，与高中数学的许多内容有着广泛的联系，中学数学所研究的各种对象都可以看做集合或集合中的元素，使用集合语言可以简洁、准确地表达数学的一些内容或进行数学推理. 高中数学课程将集合作为一种语言来学习，学生将学会用基本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力. 学习语言最好的方法是“使用”，在教学中要创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境与机会，以便学生在实际使用中逐渐熟悉自然语言、集合语言、图形语言各自的特点，进行相互转换并掌握集合语言.

“常用逻辑用语”进入高中数学课程以来，特别是在“命题及其关系”、“简单的逻辑联结词”教学过程中，时不时出现一些不同的声音. 如：命题“方程x2=1的根是x=1或x=-1”是复杂命题还是简单命题？“全等三角形一定是相似三角形”的否定是什么？用集合思想解决这些“争议”简洁而准确.

例析集合思想在简易逻辑中的应用

（一）集合思想在研究简单命题与复合命题判断中的应用

对下面两个命题：

A. 鲁迅的著作不是一天能读完的；

B. 《祝福》是鲁迅的著作.

《关于简易逻辑中的两处错误辨析》（中学数学教学参考（上旬），2009，7）一文指出，准确地认识、把握词项，是准确把握传统逻辑的首要前提.判断一个词项是否是集合词项，就是看它是否指称一个集合体，语境不同，词项的指称就有所不同. 笔者完全赞同作者观点，本文就是受此启发. 但该文中“A中的‘鲁迅的著作是一个集合词项，B中的‘鲁迅的著作是一个非集合词项”. 笔者认为此观点很牵强，也会带来混乱，不敢苟同. 笔者的疑问是命题C“《复活》是鲁迅的著作”中“鲁迅的著作”又是否为集合词项. 笔者认为B中的“鲁迅的著作”同样是一个集合词项，它是一种自然语言，用集合语言叙述B就是：《祝福》∈{鲁迅的著作}或{《祝福》}?{鲁迅的著作}，这样命题C就是：《复活》∈{鲁迅的著作}或{《复活》}?{鲁迅的著作}，命题C显然是假命题.

以上6个命题都是简单命题.

（二）集合思想在研究命题否定中的应用

看下面命题：⑦全等三角形一定是相似三角形；⑧全等三角形是相似三角形；⑨相似三角形一定是全等三角形；⑩相似三角形是全等三角形.

《关于简易逻辑中的两处错误辨析》一文认为命题⑦与⑧的表述显然是不同的. 笔者不同意这种观点，两者形式有差异，但本质相同，用集合语言表示都是{与△L全等的三角形}?{与△L相似的三角形}（两个集合中△L是任意的同一三角形）是真命题，它的否定就是{与△L全等的三角形}?{与△L相似的三角形}，自然语言表达就是“对任一△L，存在三角形与△L全等，但与△L不相似”，这是一个是假命题，同样命题⑨和⑩用集合语言表示都是{与△L相似的三角形}?{与△L全等的三角形}.

（三）解一个常见的小题

问题：写出命题“若x>y，则x2>y2”的否定形式.

这是一次单元测试中的一道题，全年级一千多学生，绝大多数人学生的答案是“若x>y，则x2≤y2”，有几个学生的答案是“存在x>y，使得x2≤y2”. 这表明这个看似简单的问题，要让学生真正搞明白，有一定难度.

若采用集合语言，容易解决此问题.原命题就是{（x，y）