浅析数学学习中常用到的思想方法

胡天泽

摘要：初中数学教学的根本任务是全面提高学生素质，其中最重要的是思维素质，而数学思想方法就是增强学生数学观念，形成良好思维素质的关键。因此，在课堂教学中渗透数学思想方法显得尤为重要，同时也是进行数学素质教育的突破口。

关键词：数学思想；素质教育

数学思想和数学方法是不同的。數学思想是对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动。数学方法是数学活动过程的途径、程序、手段，它具有过程性、层次性和可操作性等特点。但是，两者又互相支撑、相互弥补。因为数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段。所以，我们数学人常说“数学思想方法”。

在教学过程中数学思想方法是数学教学的隐性知识系统，只有出现在数学教材中重要的法则、公式、性质、定理、判定才是数学教学的显性知识系统，因为在教材中只能看到一些结论，许多例题的巧妙处理，而看不到由特殊实例的观察、试验、分析、归纳、抽象概括或探索推理的心智活动过程。如果我们在教学中，只依照课本的安排，沿袭从概念、公式到例题、练习这一传统的教学过程，即使教师讲的再深再透，学生要想记住结论，掌握解题的类型和方法，学生也只能是通过“记忆”来完成。实质上解题关键在于找到合适的解题思路，数学思想方法就是帮助学生构建解题思路的指导思想。因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，是培养学生分析问题和解决问题能力的重要途径。因此，在课堂教学中渗透数学思想方法尤为重要。

数学知识本身固然是重要的，但真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用，并使其终生受益的是数学思想方法。初中数学教学的根本任务是全面提高学生素质，其中最重要的因素是思维素质，而数学思想方法就是增强学生数学观念，形成良好思维素质的关键。如果将学生的数学素质看作一个坐标系，那么数学知识、技能就好比横轴上的因素，而数学思想方法就是纵轴的内容。淡化或忽视数学思想方法的教学，不仅不利于学生从纵横两个维度上把握数学学科的基本结构，也必将影响其能力的发展和数学素质的提高。

初中数学，涉及的数学思想方法很多，想把那么多的数学思想方法渗透给学生是不现实的。下面我介绍三种初中数学教学中常用的数学思想方法，掌握好这些方法对学生数学能力的提高有很好的促进作用。

一、转化思想

转化思想是指在解数学问题时，对当前的问题感到生疏困惑时，可以把它进行变换，把问题化繁为简、化难为易、化生疏为熟悉，从而使问题得以解决的思想方法。它是解决新问题获得新知识的重要思想，在初中数学教学中转化思想的应用很多。例如，七年级下册第七章中多边形及其内角和性质的得出要添加辅助线转化成三角形内角和问题加以解决。八年级下册第十九章《梯形》的教学，常常利用辅助线将梯形问题转化成三角形或四边形问题加以解决。再如，一元二次方程的解法和二元一次方程组的解法，都需要降次或消元将其转化为一元一次方程，进而求一元二次方程和二元一次方程组的解；分式方程需去分母转化为整式方程，根据整式方程的解法来求解。另外，数学中还经常涉及实际生活中的问题，需要利用转化思想化为数学问题来求解，如：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺。如果把这跟芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面。这个水池的深度与这跟芦苇的长度分别是多少？解此题时，需要利用转化思想将实际问题转化成为数学问题。

二、分类讨论思想

在数学中，根据研究对象的性质差异，分别对各种不同的情况予以分析的思想方法叫分类讨论。分类讨论思想在解题中的运用也很广泛。例如，一元二次方程的一些题目的解决方法可以利用分类讨论思想。

例1：求方程a2x2+（a+1）x+■=0的取值范围。

分析：因为这里并没有指明是哪类方程，所以字母系数的取值范围可以导致既可以是二次方程，也可以是一次方程，因此要分类讨论。字母系数的取值范围问题是否要讨论，要看清题目的条件。一般设问方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。都能说明是二次方程，不必讨论，但切不能忽视二次项系数的要求。本题根据二次项系数是否为零加以分类讨论。

在进行等腰三角形的教学时通常考虑分类，因为不仅等腰三角形分类，而且等腰三角形的边分两类：腰和底边；等腰三角形的角分两类：顶角和底角。

例2：王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米（水渠的宽不计），请你计算这块等腰三角形菜地的面积。

分析：本题未能区分三解形的顶角是锐角的还是钝角，因此，需要我们分类讨论来求出其面积。

三、数形结合思想

数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思路的规范性与严密性，两者相辅相成，扬长避短。教学中，以数出形，以形辅数的数形结合思想，可以使问题直观化、形象化，有利加深学生对知识的识记和理解。

数形结合思想是充分利用图形把数量关系形象地表示出来。即通过作一些如线段图、树形图、长方形面积图或集合图来帮助学生正确理解数量关系，使问题简明直观。

例3：在数学活动中，小明为了求■+■+■+■+……■的值（结果用n表示），设计如图1所示的几何图形。

（1）请你利用这个几何图形求■+■+■+■+……■的值为 。

（2）请你利用图2，再设计一个能求■+■+■+■+……■的值的几何图形。

分析：直接求代数式■+■+■+■+……■的值难度很大，而借助几何图形不难发现其结论.该题很好地体现了数形思想。

解：（1）1-■。

（2）如图3中的几种画法，图形正确。

利用数形结合的基本思想，要注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案。

学生头脑中的数学思想方法的形成是在课堂教学中启发学生思维过程中逐步积累和形成的。教师在课堂中要逐步培养学生解决问题以后进行反思的良好习惯，因为这是形成数学思想方法的首要前提，此时提炼出的数学思想方法，学生易于体会、容易接受，再经过课堂中的反复利用与强调，学生才能有所领悟。

【责编 闫 祥】