淡化解题特殊技巧，熟练掌握通性通法

俞春明

摘 要：基础知识，基本技能，基本方法俗称“三基”，每次课堂上强调三基训练，可是特殊方法有时被强化了，记住了特殊解题方法却忽视了通性通法，丢了西瓜捡了芝麻，阐述了一些通性通法在解高考题中发挥的作用以及平时需要注意的学习策略。

关键词：通性通法；双基；类比

近几年江苏高考数学试题题量稳定，结构稳定，题型变化不大，考查的是基础知识和基本技能，强调的是通性通法。学生要拿高分，基础题目得先拿稳，所以在我们的复习课中要以一题覆盖一类题目，触类旁通，有章可循，这样会在复习时起到事半功倍的效果。

在“通性通法”中，“通性”就是概念所反映的数学基本性质；“通法”就是概念所蕴含的思想方法。概念中道出了基本技能和思想方法—重双基。解题教学中，注重基础知识及其蕴含的数学思想方法，才是数学教学的硬道理。这就要求我们努力提高对所教内容的理解水平，增强辨别和判断能力，分清主次，把握知识的重难点，培养学生联系基础、洞察本质的能力，这样才能落实数学课程的育人功能，使学生真正从通性通法中得到好处。

一、寻根溯源，重视课本知识

要根据教学大纲的要求进行教学，而最基本的知识点和思想方法几乎都是从课本中的概念、法则、性质、定理、公理、公式出发，在相应的例题中涵盖数学知识和思想方法。高考题的出处也是来源于书本又不拘泥于书本知识，可以在书本中找到影子。我们知道书本是专家们共同编写的，覆盖了高中的知识点与思想方法。每一个例题都有它自身的价值，具有普遍指导意义的通性、通法，一定的代表性，做到“练例题，学一法，会一类，通一片”，才是十分重要的学习策略，也是符合素质教育要求的。

在必修5中讲完等差数列和等比数列的时候，会留给我们很多思考，比如会存在等和数列an+an+1=d与等积数列anan+1=q吗？如果有，它们会有些什么性质呢？结果证实，确实存在，并具有相应的an通项公式和前n项和Sn的公式。

同样在课本中椭圆的定义是平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1，F2）的点的轨迹是椭圆。双曲线的定义是平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1，F2的正数）的点的轨迹叫做双曲线。能否类比这些性质，猜想平面内到两个定点F1，F2的距离的比等于常数？姿（？姿>0且？姿≠1）的点的轨迹是什么呢？推导发现是个圆（命名为阿波罗尼斯圆）。

例1.【江苏2013年14分】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x-4。设圆的半径为1，圆心在l上。

（1）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围。

利用阿波罗尼斯圆的定义就可以知道第（2）问中MA=2MO可得到点M的轨迹方程x02+（y0+1）2=4，于是题目就转化为圆C与圆M的位置关系了，从而问题得以解决。

可以看出课本知识与高考题的密切联系，不仅让学生知道书本的重要性而且要学会思考，举一反三，类比推理，归纳总结出一些重要的结论和知识点，尤其在高考复习中需要重视书本的再学习。

二、通过思维训练，形成探究意识

学生思维的灵活性、深刻性和发散性都不是一时养成的，需要平时对思维的训练，那么对数学学科而言是最好的思维训练平台。思维变通往往需要几种变通（改编题目、变式练习、一题多解等）的综合，尤其是题目变通和方法变通，能很好地活跃学生的思维，养成很好的思维习惯，并在好奇心和求知欲的驱使下，让学生对数学产生兴趣。

譬如，用数学语言描述等差数列的定义：an-an-1=d（n≥2），那么就可以得到通项公式an=a1+（n-1）d。猜想如果把常数d变成函数f（n），即an-an-1=f（n），若f（n）=2n，那么该数列的通项会是什么呢？经过探讨发现可以用累加法得到：an=a1+■f（i），既而又可探讨f（n）的表达式子，怎样才能顺利化简■f（i）。于是猜想f（n）的表达式，可以是关于n的一元一次方程如f（n）=（2n-1），用等差数列求和公式处理■f（i）；可以是指数形式给出f（n）=2n用等比数列求和来求解；可以构造能裂项相消的式子如f（n）=■；也可以是错位相减的差比数列如f（n）=n·2n等一系列的f（n）模型出现。

通过上面的推理，我们也可以猜想等比数列公比不是常数而是函数模型f（n）是否也有这样的结论呢？由■=q（q≠1，0）知数列an是等比数列并通项是an=a1qn-1，那么给出式子■=f（n）。那么数列an的通项怎么求呢？结论是用累乘法得an=a1■f（i），同时又可猜想f（n）是怎样的表达式求和部分可化成一个式子。于是可以构造能约分或者能合并的式子如f（n）=1-■，cos2n等。

通过用数学的思想分析问题、解决问题来训练学生的思维，培养探究创新以及灵活多变的思维能力。在变式探究过程中，学生的思维逐步深入，并影响着课堂的气氛，课堂常常因变化的奥妙精彩而推向高潮。教学的关键不是记住结论，而是经历探究的过程，感受数学的研究方法，提高数学的解题能力，只有在运用通性通法进行不断变式演练中，才能提高解题能力。通过变式教学，有意识、有目的地引导学生从“不变”的本质中探究“变”的规律，使思维在所学知识中游刃有余，顺畅自如。

三、归纳各种题型的思想方法，体会解决问题的数学思想

所谓基本思想方法，包含两层含义：一是主要的四类数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化（化归）思想；二是常用的数学方法，可分为三类：第一类是逻辑学中的方法，如分析法、综合法、反证法、类比法、归纳法、穷举法等；第二类是中学数学的一般方法，如代入法、图象法、比较法和数学归纳法等；第三类是中学数学的特殊方法，主要是配方法、换元法、待定系数法、参数法及向量法等。而这些基本思想方法是蕴含在具体的题目中的，需不断地通过这些例题和习题进行“提炼”和“概括”，仔细体会，认真思考，在不断的思考体会中把这些思想方法进行内化，转换为自己的能力，反过来用这些思想方法指导解题，在不断的反复中把数学知识和数学思想方法融为一体，使自己的能力达到一个新的高度。

从高考数学试题里知道高考重视对基础知识、基本技能和通性通法的考查。通法的思想顺应一般思维规律，为多数学生所掌握，便于理解和操作。在教学中应注意讲清通性通法的概括过程，并通过启发和引导，向学生提示每种通法产生的过程，这样更有利于学生对通法本质、对数学思想的理解。所以在系统复习基础的时候，仅仅有知识的积累还不够，还要注意归纳方法，掌握常见的、使用频率较高的解题方法，研究通性通法，体会其中所蕴涵的数学思想方法。

在圆锥曲线试题中，经常会用到“坐标法转移法”“消元法”“判别式法”“韦达定理法”“解析法”等常用方法来解决直线直线与直线、直线与曲线、曲线与曲线间的关系。

在研究空间几何时，涉及线面位置关系时，一般是三步骤（线线，线面，面面）之间的转化。涉及距离问题，无非是点、线、面之间的6个距离，注重之间的转化，可能会用到等积法，向量投影法以及点、线、面之间的等价转化。在求空间角时把握住总体思想：先把空间角转化为平面角，再通过解三角形来求角的值。作出对应的平面角是关键，求平面角的通法有“定义法”“平移法”“垂线法”“垂面法”“向量法”。

又如，在三角恒等变换中，注重将不同名三角函数化成同名三角函数，将不同角函数化同角函数，遇到正切、正弦、余弦并存时注意切化弦思想的应用。在解三角中，特别是“正（余）弦定理”的应用，同一个问题，涉及好几个知识板块的核心内容，我们就要结合典型题目分析每种方法的特点，弄清楚其适用条件，注重转化思想，活用“边化角”或者“角化边”的思想，在“熟”和“透”方面下工夫，看到一个问题就能联想到相应的知识、方法，把搜寻的范围缩小在可控范围内，方法明确实用，平时训练有素，以此提高解题速度和准确性。

四、平时注重做题训练，学会思考，总结思想方法

每道高考真题和高考模拟试题都会有一定的数学思想，做题时要用心体会其中的思想方法以及相互之间的渗透。抓住核心的本质，做到心中有数，遇到题目时才会有章可循，不但在解题中达到炉火纯青，至少也能有瞎子吃馄饨——心中有数。当然学是为了不学，要学会学习的本领，所以在平时还需要我们能学后而思，思后而学，学思相结合的良好数学品质。不在一题多解上下工夫，而在符合学生认知规律中下工夫，能学会能操作，能把分数装进自己的口袋中那就是胜利者。换言之，只要能救命的即使是稻草也管用，不会的或者不常使用略显生疏的方法再好也是无济于事。因此在平时就需要多练习一些常用的思想方法和技巧，体现通性通法的使用性。

总之，通性通法是解题的根本，知识是基础，方法是手段，思想是深化，提高学生数学素质还得从提高学生对数学思想方法的认识和应用出发，逐渐培养学生良好的思维品质。

参考文献：

[1]胡章柱.等和数列与等积数列的研究[J].中学数学研究，2007（02）.

[2]付海峰.在层次教学中培养学生的思维能力[J].中学数学教学参考，1997（10）.

（作者单位 江苏省苏州市蓝缨学校）

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