平面向量高考探秘

王佩其

2013年高考渐渐远去，2014年高考的烽火已经点燃.俗活说，知彼知己，百战不殆.平面向量作为数学高考的必考内容，它在高考中主要涉及哪些考点？让我们从2013年高考真题中看分明.

一、平面向量的有关概念

平面向量的有关概念，包括平面向量本身的定义、以及零向量、单位向量、相等向量和共线（平行）向量等概念，还包含向量的夹角和一个向量在另一个向量方向上的投影等概念，本考点一般以小题形式出现，难度不大.

例1.（1）（2013年高考辽宁（理））已知点A（1，3），B（4，-1）.则与向量 同方向的单位向量为（ ）

A.（ ，- ） B.（ ，- ）

C.（- ， ） D.（- ， ）

（2）（2013年高考湖北卷（理））已知点A（-1，1）、 B（1，2）、C（-2，-1）、D（3，4），则向量 在 方向上的投影为（ ）

A. B.

C. - D. -

点拨：（1） =（4，-1）-（1，3）=（3，-4），故与向量 同方向的单位向量为 = =（ ，- ）；（2） =（1，2）-（-1，1）=（2，1），CD=（3，4）-（-2，-1）=（5，5），故向量 在 方向上的投影为 = = .

答案：（1）A；（2）A.

点评：准确理解向量的有关概念是解决该类问题的关键.如与向量平行的单位向量有两个（a，b），它们是 和- ，向量 在向量 方向上的投影为 ，是一个数值.

二、平面向量的基本定理

所谓平面向量基本定理，即如果 ， ，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数λ1，λ2使 =λ1 +λ2 .在高考中主要考查对这个定理的理解和应用.涉及试题以小题为主，难度中等.

例2.（1）（2013年高考广东卷（文））设 是已知的平面向量且 ≠ ，关于向量 的分解，有如下四个命题：

①给定向量 ，总存在向量 ，使 = + ；

②给定向量 和 ，总存在实数 和 ，使 = + ；

③给定单位向量 和正数 ，总存在单位向量 和实数 ，使 = + ；

④给定正数 和 ，总存在单位向量 和单位向量 ，使 = + .

上述命题中的向量 ， 和 ，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

（2）（2013年高考北京卷（理））向量 、 、 在正方形网格中的位置如图所示.若 = + （λ，μ∈R），则 =_________.

点拨：（1）利用向量加法的三角形法则，易得①是对的；利用平面向量的基本定理，易得②是对的；以 的终点作长度为 的圆，这个圆必须和向量 有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须| |+| |= + ≥| |，所以④是假命题.综上，本题选B.

（2）以向量 与 的交点为原点建立平面直角坐标系（如图），则 =（-1，1）， =（6，2）， =（-1，-3），于是，由 = + 得（-1，3）= （-1，1）+ （6，2），

故有- +6 =-1， +2 =-3 =-2， =- ，则 =4.

答案：（1）B；（2）4.

点评：应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用.当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的.

三、平面向量的位置关系

在高考中，通常以坐标形式考查平面向量的两种位置关系：平行与垂直.涉及题目以小题为主，难度不大.

例3. （1）（2013年上海春季高考））已知向量 =（1，k）， =（9，k-6）.若 ∥ ，则实数k= __________.

（2）（2013年高考山东卷（文））在平面直角坐标系xOy中，已知 =（-1，t）， =（2，2），若∠ABO=90°，则实数t的值为______.

点拨：（1）由 ∥ 得1×（k-6）-k·9=0 k=- ；

（2）由∠ABO=90°知 ⊥ ，又 = - =（3，2-t）， =（2，2），

故由3×2+（2-t）×2=0 t=5.

答案：（1）- ；（2）5 .

点评：已知两向量 =（x1，y1）与 =（x2，y2）共线或垂直，求某些参数的取值时，（1） ∥ ？圳x1y2=x2y1；（2） ⊥ ？圳x1x2+y1y2=0.

四、平面向量的数量积运算

平面向量数量积的应用是必考内容，主要考查利用数量积解决垂直、长度、夹角等问题，题型为选择题、填空题，难度中等.

例4.（1）（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的 中点，则 · =________.

（2）（2013年高考天津数学（理））在平行四边形ABCD中， AD = 1，∠BAD=60° ， E为CD的中点. 若 · =1， 则AB的长为______.

点拨：此类问题一般可采用坐标法和基底法.对于（1）可建立坐标系，利用向量的坐标运算求数量积，如图建立坐标系，则A（0，0）， E（1，2）， B（2，0），D（0，2），于是 =（1，2）， =（-2，2），故 · =1×（-2）+2×2=4.

对于（2），可以 与 为基底，将 和 用基底线性表示： = + ， = + = - ， 故 · =（ + ） - =1.

即 2+ · cos60°- 2=1，又 =1，故 = .

答案：（1）4；（2） .

点评：当向量的模或夹角不明确，且所给平面图形方便建立直角坐标系，并容易写出各涉及点坐标时，常常利用坐标法将向量坐标化求数量积. 当向量的模或夹角不明确，且建立直角坐标系后，相关点的坐标不易写出，而题目已知两条线段的长时，常常以这两个向量作为平面上所有向量的一组基底，将要求的向量通过构造三角形，借助三角形法则，转化为基底的和或差，从而使问题得到解决.

五、与平面向量有关的最值问题

在高考中最值问题无处不在，与平面向量有关的最值问题考查考生的综合能力，一般也以小题为主，难度中等或中等偏上.

例5. （1） （2013年高考湖南（文））已知 ， 是单位向量， · =0. 若向量 满足| - - |=1， 则| |的最大值为（ ）

A. -1 B.

C. +1 D. +2

（2）（2013年高考浙江卷（文））设 ， 为单位向量，非零向量 =x 1+y 2，x，y∈R.若 ， 的夹角为 ，则 的最大值等于_______.

点拨：（1）由 · =0得 ⊥ ，又 ， 是单位向量，故 + = .

由 - - =1 -（ + ）=1，当 与 + 反向时， max=1+ .

（2） 2=（x ）2+（y ）2+2xy · =x2+y2+2xycos30°=x2+y2+ xy.

而 2 = = = = ≤4，

因此 的最大值为2.

答案：（1）C；（2）2.

点评：与向量有关的最值问题一般两种思路：或利用图形特征，抓住向量“形”的特点，利用几何性质来解；或抓住向量“数”的特点，通过向量的有关运算转化为函数的最值问题.

巩固练习：

1. 若两个非零向量 ， ，满足 + = - =2 ，则向量 + 与 的夹角为（ ）

A. B. C. D.

2. 在△ABC中，G是△ABC的重心，AB、AC的边长分别为2、1，∠BAC=60°.则 · =（ ）

A. - B. -

C. D. -

3. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为BC中点，则 · =（ ）

A. -3 B. 0 C. -1 D. 1

4. 若 ， ， 均为单位向量，且 · =0，则 + - 的最小值为（ ）

A. -1 B. 1 C. +1 D.

答案与提示：

1. B；2.A；3.C；4.A.

1. 由 + = - ，得 2+2 · + 2= 2-2 · + 2，即 · =0.由 + =2 ，得 2+2 · + 2=4 2，即 2=3 2，所以 = ，所以（ + ）· = 2+ · = 2，所以向量 + 与 的夹角的余弦值为cos？兹= = = ，所以？兹= ，选B.

2. 由AB=2，AC=1，∠BAC=60°，所以BC= ，∠ACB=90°，将直角三角形放入直角坐标系中，则A（0，1），B（- ，0），所以重心G（- ， ），所以 =（- ，- ）， =（ ， ），所以 · =（- ，- ）·（ ， ）=- ，选A.

3. = + = + ，所以 · =（ + ）· = · + · = · cos120°+ cos60°=- ×2×2+ ×2×2+ =-1，选C.

4. + - 2= 2+ 2+ 2+2 · -2 · -2 · =3-2（ + ）· ， 因为 · =0，且 = = =1，所以 + = ，所以（ + ）· = + cos< + ， >= cos< + ， >，所以 + - 2=3-2 cos<（ + ）， >，所以当cos<（ + ）， >=1时， + - 2最小为 + - 2=3-2 =（ -1）2，所以 + - = -1，即 + - 的最小值为 -1，选A.

（作者单位 江苏省太仓高级中学）

责任编校 徐国坚