感知数学思想，做好因式分解

沈彬

摘要：数学教师在引导学生学习的基础上，帮助学生感知数学思想和文化，在学习数学中感受数学文化，用数学思想指导自己的学习和实践。本文结合因式分解教学，运用类比思想，帮助学生举一反三；指导学生结合分类思想，学会分门别类；利用转化思想，做题化繁为简；立足整体思想，考虑局部换元，操作性强，效果好。

关键词：数学思想；因式分解；实践

中图分类号：G427文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）09-029-2

数学既是一门科学，又代表着一定思想和文化，数学教学不仅要教会学生计算做题，引导学生思维，还应教会学生感知数学思想和文化。新的课程标准明确提出，教师在教学过程中一定要注重学生数学知识与技能、数学思想与方法的培养，教会学生在学习数学中感受数学文化，用数学思想指导自己的学习和实践。笔者结合多年初中数学教学实践，结合因式分解知识教学，探讨一下如何结合用数学思想做好因式分解试题。

一、运用类比思想，学会触类旁通

康德有一句非常的有名的话：每当理智不能找到可靠的论证思路时，类比这种手法总能带我寻找柳暗花明。科学都具有很强的规律性，类比就是利用科学的规律性特征，引导人们寻找模块规律，因式分解结合数学的类比思想，既能够帮助学生更好地理解和构建知识体系，又能够帮助学生举一反三，触类旁通，引导学生思路，提高他们做题的速度和能力，培养学生创新思维。

例如，在讲因式分解时，教材介绍几种较为常用的分解方法，其中最为重要的就是提取公因式法与公式法，比如平方差、完全平方公式等。为了让学生更好地理解因式，首先让学生明白此前学过的因数分解，比如，把整数24进行因数分解就是2×3×4，2、3、4就是整数24的因数，与之类比，a2-b2就是（a+b）·（a-b），因此，多项式a2-b2就可以分解为（a+b）·（a-b），由此，可以判断（a+b）、（a-b）都是a2-b2的因式。

这样，学生就会明白因式分解就是因数分解的变形，学生也就明白了因式分解的意义，引导学生感知有数向式的变化发展过程，是思维由特殊现象到一般规律的体现，既能够让学生明白因数分解与因式分解，通过类比，学会触类旁通，举一反三，又能真正理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法。

二、应用分类思想，学会分门别类

数学现象与数学变化可谓千变万化，万变不离其宗，总会表现为不同的类别；初中数学因式分解试题犹如恒河沙数，但是，同样表现为几种不同的类型。对于很多的多项式来说是不能直接提取公因式的，也不能直接运用公式法，但是这些总会表现为不同程度的类同，对他们进行分门别类，就可以提取公因式或者运用公式法了。教学中需要教会学生根据数字与符号的相似相关性，进行合理分类，从而快速因式分解。

例如，有这样一道试题，因式分解8ax-4ay+2bx-by，这个多项式，既不能直接提取公因式，有无法直接用公式，但是，通过分析比较，很容易找出8ax-4ay有数字和符号的类同，可以提取公因式4a，得出4a（2x-y），而2bx-by有字母符号的相同，可以提取公因式b（2x-y），然后在进行提取公因式，于是，这个多项式就可以分解为（4a+b）（2x-y）。当然也可以根据公式法应用分类思想，比如，将9m2-6m-4n2+1进行因式分解，这也是个无法直接提取公因式和运用公式法的多项式，但是，可以结合公式法进行分类，把这个多项式分类，（9m2-6m+1）-4n2，这样，就可以运用公式法进行分解，首先应用完全平方公式，（9m2-6m+1）=（3m-1）2，再和-4n2组合应用平方差公式9m2-6m-4n2+1=（3m-1）2-4n2=（3m+2n-1）（3m-2n-1）。

数学中的分类思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。运用这种思想，学生具有整体意识，能够根据常用的因式分解法对多项式进行归类分组，让分解过程更为简洁。

三、利用转化思想，做题化繁为简

在数学教学过程，学生根据数学的加减乘除等基本方法，按照一定的条件将一种现象转化为另一种表现形式，在保证整体不变的前提下，对多项式的进行一定的变形转化，从而把多项式转化为符合基本分解方法的操作形式，进行因式分解，实现化繁为简，化难为易，巧妙解决分解问题。因此，初中数学教学过程中，教师需要引导学生根据试题特点进行灵活转化，围绕基本的加减乘除法，对原式进行合理转化，使之更加符合因式分解的最为基本的形式，运用公式法或提取公因式法。

例如，有这样一道试题：20132-20122，按照常规方法，是计算每一个数的平方值，然后相减。学过因式分解后，就可以把这个计算转化成公式法因式分解，（2013+2012）（2013-2012）=4025，非常快速准确地计算出结果。

再比如，将下面一个多项式进行因式分解：9x2+6x-3。常规算法是提取公因式，但是仅靠提取公因式是不能解决问题的，提取公因式法之后，还要运用十指相乘法，这样的跳跃对很多基础或者程度不好的学生有一定的困难，同时，十字相乘法一方面学生不容易看出，同时，学生在做题过程中也往往会选错正负号。这时，教师就可以引导学生运用转化思想，基本的加减乘除一般不容易算错，且转换后用的都是最为基本的公式法，比如这道试题就需要在整体不改变的情况下，利用加减法进行变形，把-3变成1-4，将原式转化9x2+6x+1-4，这样，在利用上例中的分类思想，进行分类，利用公式进行分解：（9x2+6x+1）-4=（3x+1）2-22=（3x+3）（3x-1）=3（x+1）（3x-1）。

这样，利用转化思想，把原本复杂的多项式转化成直接运用公式的形式，这样，学生可以有效解决问题，因此，在教学中，教师要多多引导学生不断运用转化思想，使问题简洁化，只要学生有这种意识，思维会在实践中变得更为灵活，学生对问题的认识可以不断加深，解题能力可以得到显著提升。

四、立足整体思想，考虑局部换元

做因式分解这类试题应具备这种宏观和整体思想，要能从宏观审视，在细节入手，整体把握，局部优化。尤其对于结构较为复杂难辨的多项式进行分解，如果把某些局部看做一个整体处理，多项式的结构就会更加简洁明朗，问题由繁变简，很容易进行因式分解，这就是整体思想。教学过程中，教师一定要在在引导学生做题的基础上，培养学生的整体思想，引导学生局部换元，化繁为简，降低做题难度，提高正确率。

例如，把（x2-2x）2-2x（2-x）+1分解因式。

分析：先把-2x（2-x）化为2（x2-2x），再把（x2-2x）看作一个小个体进行局部换元，设（x2-2x）=m原式就变成了m2+2m+1=（m+1）2。

解：原式=（m+1）2=[（x2-2x）+1]2=（x2-2x+1）2=（x-1）4。

再如，请将下面这个多项式因式分解：x4（x2-y2）+y4（y2-x2）。

分析：这个试题有一定难度，学生平时见到的试题一般都是最高3次方，但是这道试题不去括号就已经是4次方，如果去掉括号，就变成了6次方了，学生更加感到无从下手，这时，运用整体思想，因为，这个多项式中最小的也是2次方，同时，从整体上看，都是关于（x2-y2）的，（x2-y2）看做a，就会简单很多。简单许多，就变成了最多3次方了。试题就容易多了。

解：原式=（x2-y2）（x4-y4）

=（x2-y2）[（x2）2-（y2）2]

=（x2-y2）（x2-y2）（x2+y2）

=（x+y）2（x-y）2（x2+y2）

这样，本题就可以得到快速解决，因此，在教学中，教师要善于引导学生培养整体思想，使学生在实践中能够学会运用整体思想并通过局部还元的方式解题，化难为易，化繁为简，让看似繁琐的试题变得简洁，这样，不仅对于学生解答因式分解题有巨大的帮助，对于解答其他数学问题同样具有积极的意义，对于发展学生的数学思维，提高学生的解题能力，促进学生思维的发展具有重要作用。

总之，数学教学既是在给学生以知识和能力，又是在传播一种思想和文化，教会学生在做题中感知数学思想，用数学思想指导数学学习，培养学生发散性思维，锻炼学生灵活思维、创新思维，全面发展学生的综合能力。

[参考文献]

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[3]魏斌.如何在数学教学中渗透思想方法[J].新课程（教研），2011（04）.