继承和构造思想在高中数学导数问题中的应用

苏旭景

“导数”是高中新课程新增加的内容之一，是高中数学知识体系的重要组成部分，高考每年必考，而且在解答题中一定出现。导数在培养学生良好学习素养、提升学生解题能力和创新精神中发挥着重要作用。导数是整套试题的制高点和难点，有些同学谈导数色变，觉得它高不可攀，敬而远之，致使一些分数眼睁睁的拿不到手，无可奈何。面对导数问题如何多得分数，掌握灵活、实用的解题方法和策略是学好导数知识的关键，本文谈谈继承和构造思想在导数问题中的应用，希望能够对大家有所启示。

一般来讲，一道导数解答题中会设计2至3个小题，在解决后续问题时，往往需要用到前一小题既得的结论才能使得问题得以解决，这就是所谓的继承思想。

例如：已知函数f（x）=2x2，g（x）=alnx（a>0），且不等式f（x）≥g（x）恒成立。

（1）求a的取值范围；

（2）求证：■+■+…+■<■（其中e为无理数，约为2.71828）。

[思考流程] （条件）函数解析式→ （目标）一个是不等式恒成立、一个是证明不等式 →（方法）构造函数，然后使用导数研究函数的性质，根据函数性质即可得出参数范围和所证不等式。

解：（1）令F（x）=f（x）-g（x）=2x■-alnx，

F′（x）=4x-■，

令F′（x）=0，得x=■，所以F（x）的减区间为■，增区间为■，

F（x）■=F（x）■=F（■）=■-aln■，

只要■-aln■≥0即可，得a≤4e

又a>0，∴a的取值范围为（0，4e]。

[思考流程] （条件）函数解析式→（目标）一个是不等式恒成立、一个是证明不等式→（方法）构造新函数，然后使用导数研究函数的性质，根据函数性质即可得出参数范围，继承（1）所得结论证明不等式。

（2）证明：由（1）得2x■≥4elnx，即■≤■，

所以■+■+…+■≤■（■+■+…+■）

<■（■+■+…+■）<■

本题通过导数研究不等式，达到求参数取值范围，证明不等式的目的，其基本思想是构造出函数，通过对构造函数性质（极值，最值）的研究，得一关于参数恒成立的不等式，最后求出参数的取值范围。

尤其第（2）问的证明继承了第（1）问的结果可以轻松得证。

再如：已知函数f（x）=lnx+■

（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求正实数a的取值范围。

（2）当a=1时，求函数f（x）在■，2上的最大值和最小值；

（3）当a=1时，证明：对任意的正整数n>1，不等ln n>■+■+■+…■式都成立。

解：（1）由已知得函数f（x）的定义域为（0，+∞）

f′（x）=■，a>0

f（x）在区间[1，+∞）上是增函数

∴当时x∈[1+∞），f′（x）=■a≥0即a≥■恒成立。

∵当时x∈[1+∞），■的最大值为1∴正实数a的取值范围为[1，+∞）。

（2）当a=1时，由（1）知函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数。

∴当x∈[■，1）时，f′（x）<0即f（x）在区间[■，1）上是减函数

当x∈[1，2]时，f′（x）>0即f（x）在区间[1，2]上是增函数

又f（■）-f（2）=1-ln2-（ln2-■）=■-2ln2=■>0

∴f（■）>f（2）

∴f（x）在[■，2]上的最小值为f（1）=0，最大值为f（■）=1-ln2。

（3）当a=1时，由（1）知函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数。

∴当x∈[1+∞）时，f（x）>f（1）=0

即lnx+■>0即lnx>■

令■=■，n>1则x=■>1 ∴ln■>■

∴ln■+ln■+ln■+ln■>■+■+■+…+■

∴ln n>■+■+■+…+■

∴对任意的正整数n>1，不等式ln n>■+■+■+…+■都成立。

本题在解决第（2）小题时，注意观察a=1时适用于（1）的结论，所以继承第（1）的结论，f（x）在[■，2]上单调性直接可得，进而f（x）在上的最值得解。

在解决第（3）小题时，注意观察a=1时适用于（1）的结论，所以继承第（1）的结论，构造与求证式相近的形式，通过对构造形式进行赋值，得证恒成立的不等式。

通过以上两例体现继承和构造思想在高中数学导数问题中的应用，所以在解决类似问题时，要有继承上一问题结论的意识，树立构造函数和构造形式的意识，达到尽最大可能多得分数的目的。

【责编 闫 祥】