解决问题的策略

单薇洁

摘 要：数学基本思想是一种科学的思想，是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓。教学中，教师应不失时机地渗透数学基本思想，注重知识形成过程的教学，注重解决问题策略的指导，注重解答方法的归纳总结，从而提升思维水平的深度和宽度。

关键词：解决问题的策略； 建模思想； 假设思想

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2013）09-050-001

在新的《小学数学课程标准（修订稿）》中，对小学数学教学提出了“四基”的要求，即在原来双基的基础上，增加了“数学基本思想”和“数学基本活动经验”，可见数学基本思想在小学的教学中已提高到了较为重要的地位。确实，“数学思想方法反映着数学概念、原理及规律的联系和本质，是学生形成良好认知结构的纽带，是培养学生能力的桥梁。”其实，在苏教版的教材中，有很多地方都渗透着数学基本思想，特别是“解决问题的策略”单元中，显得尤为突出。因此，笔者想以第十一册“假设和替换”中的一些教学片段为例，谈谈数学基本思想在其中的应用。

一、建模思想在教学中的应用

本单元教学中的替换策略，其教学的重点是让学生充分理解替换策略的意义，即把两种量替换成一种量，从而顺利的解决问题。数学建模思想在这里体现的是，从数学的角度发现、提出、理解问题，最后归结为一类已经解决或较易解决的问题中去。

教学例题时，可以三个层面的操作来串联学生对问题的思考“（1）画一画，把你替换的过程画出来。（2）算一算，根据自己所画的图列式计算。（3）说一说，把找到的答案和方法与同桌进行交流。”在画的层面，学生既可以把1个大杯换成3个小杯；也可以把6个小杯换成2个大杯。学生通过寻找数量关系以及观察主题图，得出解决这个问题需要把两种杯子换成一种杯子——即替换，尝试了把生活中的原型上升为数学模型，初步感知了数学中的建模思想。而在算的层面，学生通过假设的数学模型，能够清楚地抓住事物的本质关系，特别是6+3和6÷3+1，用算式表达自己的替换过程，使替换的思考呈现数学化、符号化、模型化。学生由最初形象的物体图形，抽象到现在的数学表达式，恰恰体验了数学模型的形成。最后在说的层面，让学生比较这两种替换方式，体会无论哪种情况，它们都是把两种量与总量之间的复杂数量关系转化为一种量与总量之间的简单数量关系，培养了学生的建模意识。

接着，将例题进行更改，把条件改为“大杯的容量比小杯多20毫升”。在这里为了使学生充分体会这种相差关系的替换，是一种不等量的替换，其替换结果势必造成果汁总量发生改变，因此可以启发学生“同样一道题，为什么刚才替换结果的总量是在减少，现在总量却又增加呢？”结合图意，引发学生深层次的思考。

在新授环节的最后，把倍数关系和相差关系的两种替换进行对比和提炼“（1）比一比这两题的条件有什么不同？（2）比一比它们的替换过程，你有什么发现？”通过比较，学生都能清楚地认识到替换的依据不同，一个揭示了两者之间的倍数关系，一个揭示了两者之间的相差关系。倍数关系替换下来的总量不变，相差关系替换下来的总量发生了变化。那“为什么会有这样的变和不变呢？”倍数关系是等量替换，总量不需要改变；而相差关系中把1个大杯换成1个小杯，它们两的容量是不相等的，所以总量要随着改变。这样，学生不仅能充分理解替换策略的意义，还能明确的判断出该用什么方法来解决，实现了数学建模的意义和价值。

二、假设思想在教学中的应用

本单元教学中的假设策略，是让学生在对自己解决实际问题的不断反思中，感受假设的策略对于解决特定问题的价值，进一步发展学生分析、综合和简单推理的能力。而“假设”本身，它既是一种策略，也是一种数学基本思想。假设思想是一种有意义的想象思维，可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。

在教学例题时，首先组织学生观察，审理问题信息，选择解决方法。在画图中，学生用5个圆圈表示每只大船坐5人，结果发现10只大船坐了50人，比原来的42人多了8人，那么“为什么会多出8人呢？怎样才能正好坐42人呢？”带着矛盾，学生自然地从原来的船上2人2人地减少，直到刚好满足条件为止。虽然这只是一个简单操作活动，但在画图的过程中，学生通过直观的图示，较好地理解了其中变和渐变的过程，较好地理解了我们是如何假设，如何制造矛盾，又如何解决矛盾的过程。

在列表中，学生的数学思维又得到了提升。1、逐一列举。有的学生从有10只大船开始一个一个试，直至寻找到所求的答案。有的可能认为这种方法太过繁琐，但这一过程很有必要，学生通过列表发现，每增加1只小船、减少1只大船便会减少2人，从而为跳跃尝试做好铺垫。2、跳跃列举。也是从有10只大船开始试，但发现这样有50人，太多了，可以多增加几只小船，如果发现比42少，那么就可以确定大船或小船的范围，再在这里面寻找。3、取中列举，这也是书中呈现的方法。由于一共10只船，所以各取5只，接着在举例中根据实际的数据情况确定举例的方向，这样可以大大缩小举例的范围。应该说在列表三个层次的提升中，学生经历着、思考着、探索着、尝试着，对思维的训练、假设思想的渗透、解决问题能力的提高有着极大的帮助。

其实画出的图或列出的表是为学生应用假设的策略提供帮助。假设是思想层面的体会，画图和列表是方法层面的选择，最后让学生进行方法对比，体会共同点。当学生由图、表改成算式的提炼后，问题“为什么4只求的是小船？”可以引发学生对假设过程的思考。因为假设10只大船就多了8人，又因为每条大船比小船多2人，8里面有4个2，说明需要把4条大船调整，换成小船。这样，学生自然得出“假设，比较，调整”的完整思维过程，从而进行解答。

当然，学生对例题的理解绝不只会停留在这个层面，方程在此时也会显出顺向思维的优势。通过对“大船上的人数+小船上的人数=总人数”这个等量关系的理解，学生可以列方程解答。还有的学生对数据进行观察，根据数据的特点进行猜测验证。在此题中，有的学生牢牢抓住“一共有42人”这个数据进行观察和思考，认为大船乘5人，因此坐在大船上的总人数一定是5的倍数，那么个位只能是5或0，要想个位是2，小船只能是4只。真是“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”，其实这也是一种假设，利用数的整除特征进行假设、推理。

其实，替换与假设的策略有很多相通之处，甚至有的认为“替换本质上就是一种假设”。因此不管是哪一种策略，我们在运用时都要有条理地厘清数量关系，恰当地渗透数学基本思想，这样就可以使原有的复杂问题转化成一个较为简单的实际问题了。