上的Wiener-Hopf算子*

谢佩珠，曹广福

(广州大学数学与信息科学学院∥数学与交叉科学广东普通高校重点实验室，广东 广州 510006)

实空间上的Wiener-Hopf算子有两种定义方法。一种定义是

其中Lp(R+)表示R+上的Lp空间，m(a)表示乘积算子，P是从Lp(R)到Lp(R+)的投影算子。关于该算子的详细定义及性质可见文献[1, 第9章]。另外一种定义是

其中Hp(R)表示R上的Hardy空间，P表示从Lp到Hp的投影算子。Wiener-Hopf算子包含了很多重要的积分算子，曾有很多学者研究，见文献[1-6]。

1 概念

显然, 对所有的1≤p≤∞，该算子都是有界的。

若a∈L∞(Rn)，则算子

有界且其范数为‖a‖L∞。令Mp(Rn) (1≤p<∞)表示所有满足以下性质的a∈L∞(Rn)所组成的集合：若φ∈L2(Rn)∩Lp(Rn)，则M(a)φ∈Lp(Rn)且存在不依赖于φ的常数Cp使得‖M(a)φ‖Lp≤Cp‖φ‖Lp。

(ii)M2(Rn)=L∞(Rn)；

(iv)Mp(Rn)=Mp′(Rn)，且若a∈Mp(Rn)，则‖M(a)‖=‖M(a)‖；

(v)Mp(Rn)在范数‖a‖Mp(Rn)= ‖M(a)‖下为Banach代数；

M(a)φ(x)=cφ(x)+k*φ(x)(x∈Rn)

W(a)φ(x)=cφ(x)+k*φ(x)，

(x=(x1,…xn)∈Rn,xn>0)

(ii) 对δ∈Rn，定义ωδ∈L∞(Rn)为ωδ(x)=e-2πiδ·x。 则对所有的p:1≤p<∞，有ωδ∈Mp(Rn)且若φ∈Lp(Rn)，

M(ωδ)φ(x)=φ(x-δ) (x∈Rn)

对

定义3 设X和Y为Banach代数。如果存在常数γ>0使得

‖Y

对任意有限个ajk∈X都成立，则称映射i:X→Y为次可乘的。满足(1)式的次可乘算子i称为γ-次可乘。

2 Wiener-Hopf算子的性质

在本节中，我们研究Wiener-Hopf算子的性质。

命题1 若1≤p<∞，则映射

是1次可乘的同构映射。

可见W是1次可乘的。由

‖W(a)‖≥‖M(a)‖≥‖W(a)‖

记‖A‖Φ(X)为算子A的本征范数，即

‖A‖Φ(X)=inf{‖A+K‖:K∈C∞(X)}

其中C∞(X)为空间X上紧算子全体构成的空间。

⟺M(a)∈G⟺

证明 设A∈为M(a)的逆算子。在等式M(a)τv=τvM(a)两边同时乘以A可得τvA=Aτv，即A是平移不变算子。因此，存在使得A=M(b)。不难验证ab=ba=I。故而，当M(a)可逆时

由此可得

其中Q=I-P。设v=(0,…,vn)。进一步

Hankel算子和Wiener-Hopf算子之间的关系是研究Wiener-Hopf的交换子的关键。若a,b∈Mp(Rn)，则

W(ab) =PM(ab)P=PM(a)(P2+QJJQ)M(b)P=

PM(a)PPM(b)P+PM(a)QJJQM(b)P=

H(a)φ(x)=

(x=(x′,xn)∈Rn,xn>0);

(x=(x′,xn)∈Rn,xn>0)

注2 类似地，可以定义空间Rn-i×(R+)i，1≤i≤n上的Wiener-Hopf算子和Hankel算子。注意到当k∈L1(R)时，算子

参考文献：

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