一类具有收获率互惠系统的稳定性及Hopf分岔*

陈红兵

(天水师范学院数学与统计学院，甘肃 天水 741001)

文献[1]研究了具有HollingⅡ功能反应的模型

其中x(t)为食饵，y(t)为捕食者，a,b,c,d,e,f为常数。a,d表示食饵和捕食者的固有增长率，b,e表示种群的种内竞争系数，c表示捕食者的捕获能力，f表示食饵对捕食者的供养能力。

本文我们研究具有时滞的HollingⅡ功能反应模型

(1)

其中x1(t)和x2(t)为两种群在t时刻的密度，a1,a2为食饵和捕食者的固有增长率，b1,b2为环境制约系数，c1和c2为两种群的相互转化系数，d1和d2为捕获强度。并且a1,a2，b1,b2，c1，c2，d1，d2为正常数。

文献[2-5]研究有关捕食系统的稳定性和时滞的Hopf分岔，但关于互惠系统时滞的Hopf分岔并不多见，本文我们在参考文献[6-9]理论的基础上研究互惠系统时滞的Hopf分岔及分岔的稳定性。

1 有界性

(H1)b2>c2,

φ1(0)≥0,φ2(0)≥0

(2)

引理1 系统 (1) 存在满足初值(2)的正解。

x1(t)>0,x2(t)>0显然成立。

引理2 系统(1)满足初值(2)的解为一致有界的。

证明

(3)

同理得x1(t)有界。

2 Hopf 分岔的存在性

在本文假设A1>0，和A2>0。

(H2)A2c1>A1c2，

(H3)c1>c2，

其中A1=a1-d1，A2=a2-d2，σ=A1b2+A2c1-b1b2-A1c2为常数。

引理3 如果假设(H1)和(H2)成立，则E*为系统(1)的正平衡点。

系统(1)平衡点的特征方程为

λ2+Ae-λτλ-Bλ+Ce-2λτ-De-λτ=0

(4)

定理1 当τ=0系统(1)满足假设条件(H2)的平衡点E*是稳定的。

证明当τ=0时，系统(1)平衡点特征方程为

λ2+(A-B)λ+C-D=0

(5)

其中

即特征方程(5)有两个负实部的根，所以系统(1)的平衡点E*是稳定的。

引理4[2]对如下多项式

P(λ,e-λτ1,…,e-λτm)=

定理2 假设系统(1)满足条件(H3)和(H4)，则

(i) 当τ∈[0,τ0)时，系统(1)的正平衡点E*是全局渐近稳定的(τ0如下)；

(ii) 当τ=τ0时，系统(1)的正平衡点E*出现Hopf分支岔(τ0如下)。

证明令λ=iω代入式(4)，并分离实部和虚部得

(6)

(6)式与下式同解

ω8+B1ω6+B2ω4+B3ω2+B4=0

(7)

其中B1=2B2-A2，B2=B4-2C2+2A2C-A2B-D2，

B3=2B2C2+A2C2+B2D2+2CD2-4ABCD，B4=C4-C2D2，

令η=ω2，则(7)式变为

η4+B1η3+B2η2+B3η+B4=0

(8)

令F(η)=η4+B1η3+B2η2+B3η+B4，显然

F(C)=-(2D-AB)2C2-B2C(D2-B2C)=

下面把τ0和ω0代入(4)式，求

f2(ω0) = (2Ccosω0τ0-D)2+(Aω0-2Csinω0τ0)2

而

3 Hopf 分岔与分岔周期解的计算公式

下面用中心流行定理和规范型方法给出系统(1)的分岔方向， 分岔周期解及稳定性的计算公式。

(9)

其中u(t)=(u1(t),u2(t))∈R2,L:C→R2,F:R×C→R2，则有

Fμ(φ)=(τ0+μ)·

(10)

F(μ,φ)=

(11)

由Riesz定理可得，一定存在有界变差函数的矩阵η(θ,μ)，使得

(12)

其中η(θ,μ):C→R2,θ∈[-1,0]，令

其中φ∈C([-1,0],R2)。取

则系统(9)可写成算子方程

(13)

其中u=(u1,u2)T,ut(θ)=u(t+θ),θ∈[-1,0],μ=τ-τ0。由定理2可知，当μ=0时系统(13)可能产生Hopf分支。

定义算子A*(μ)为

并且定义双线性内积为

(14)

其中ψ∈([0,1],R2*),η(θ)=η(θ,0)。

由(14)式可得

令

定义

ut(θ)-2Re{v(t)q(θ)}

(15)

由中心流行定理可得

(16)

当W是实数时ut也是实数，因此下面只考虑实数ut，并且有

〈A*(0)q*,ut〉+〈q*,R(0)ut〉=

其中

(18)

则由(15)式和(16)式可得

又因为q(θ)=(1,α)Teiθω0τ0，所以有下式成立。

由F(μ,ut)得

所以可得

因为

A(0)ut+R(0)ut+2Re{gq}=

(19)

其中

(20)

所以得

(21)

由(19)式得

(22)

(23)

所以有

(24)

即

(25)

(26)

由A的定义和(21)式可得

(27)

(28)

所以有

则可求得E1和E2。

令

β2=2Re{c1(0)},

(29)

定理3 系统(1)的分岔方向由μ2确定，当μ2>0(μ2<0)，Hopf分岔是上临界的(下临界的)，即当τ>τ0(τ<τ0)存在相应的Hopf周期解；分岔周期解的稳定性由β2确定，当β2<0(β2>0)分岔周期解稳定(不稳定)；分岔周期解的周期由T2确定，当T2>0 (T2<0) 周期增加(减少)。

4 举例

(30)

β2=-6.4,T2=2.419 4。 见图 1和图 2 。

图1 τ=1.2平衡点渐近稳定Fig.1 The positive equilibrium is stabled for τ=1.2

图2 τ=2.1 Hopf 分岔及周期解稳定Fig.2 Hopf bifurcation and stability for τ=2.1

参考文献：

[1] LI Y Q, GAO H L. Existence, uniqueness and global asymptotic stability of positive solutions of a predator-prey system with Holling II functional response with random

perturbation [J]. Nonlinear Analysis, 2008, 68: 1694-1705.

[2] RUAN S, WEI J. On the zeros of transcendental functions with applications to stability of delay differential equations with two delays [J]. Dyn Contin Discrete Impuls Syst Ser A Math Anal, 2003, 10:863-874.

[3] YAN X P, LI W T. Hopf bifurcation and global periodic solutions in a delayed predator-prey system [J]. Appl Math Comput, 2006, 177:427-445.

[4] FARIA T. Stability and bifurcation for a delayed predator-prey model and the effect of diffusion [J]. J Math Appl, 2001, 254:433-463.

[5] SONG Y L, WEI J J. Local Hopf bifurcation and global periodic solutions in a delayed predator-prey system [J]. J Math Appl, 2005, 301:1-21.

[6] HASSARD B, KAZARINOFF D, WAN Y. Theory and applications of Hopf bifurcation [M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1981.

[7] QIN Y, WANG L, LIU Y, et al. Stability of the dynamics systems [M]. Beijing: Science Press; 1989.

[8] HALE J, LUNEL S M. Introduction to functional differential equations [M]. New York: Springer-Verlag, 1993.

[9] STECH A. Hopf bifurcation calculations for functional differential equations [J]. J Math Anal Appl, 1985, 109:472-491.