拉格朗日方程在电路中的应用

王长江

（四川职业技术学院，四川遂宁 629000）

拉格朗日方程在电路中的应用

王长江

（四川职业技术学院，四川遂宁 629000）

通过研究机械振动与电磁振动规律的相似性，建立起力—电模拟，将电学量纳入相应的广义力学量中去，可以利用拉格朗日方程分析电路问题.

力—电模拟；拉格朗日方程；电路分析

1 力—电模拟

如图1所示的机械振动系统，质量为m的物体用一弹性系数为k的轻弹簧连接到墙上，设物体所受到的外力为f(t)=Fmcos(ωt)，阻尼力为fb=-bx˙，其中，b为阻尼系数，则物体的振动方程为

图1 机械振动系统

图2所示的RLC串联电路，设电路两端电压为us(t)=Usmcos(ωt)，则电路的振动方程为

图3所示的RLC并联电路，设外接电流源电流为is(t)=Ismcos(ωt)，则电路振动方程为

式中，φ为电感中的磁链．

图2 RLC串联电路

图3 RLC并联电路

方程（1）、（2）和（3）都是二阶微分方程，从数学上看，机械振动系统和电磁振动系统运动规律是相似的﹒两种运动因数学描述上的相似性，揭示出方程中对应系数和变量各自代表的物理性质的相似性，可以在机械网络与RLC电路网络元件间建立起力—电模拟，如表1所示．

表1 力——电模拟

2 拉格朗日方程与电路方程

对于具有耗散力的力学系统，拉格朗日方程为

式中，qa为Q广义坐标，qa为广义速度，Qa为广义力，L为拉格朗日函数，G为损耗函数．

对于电路网络，依据力—电模拟，如果将各电学量纳入相应的广义力学量中，就可以用拉格朗日方程分析电路方程．

图2的RLC串联电路，若取电量q为广义坐标，电流q˙为广义速度，外加电压us为广义力，则有

它们分别表示通电线圈的磁场能，电容的电场能、电阻的焦耳热功率，因此，从能量角度看，上述模拟是恰当的.

其拉格朗日函数为

将它们代人拉格朗日方程（4），不难得到电路方程（2）．

图3的RLC并联电路，取磁链φ为广义坐标，电压φ˙为广义速度，外加激励电流is为广义力，则有

它们又分别表示电容的电场能、通电线圈的磁能、电阻的焦耳热功率.

其拉格朗日函数为

将它们代人拉格朗日方程（4），便得到电路方程（3）．

3 拉格朗日方程的应用

RLC串并联网络如图4所示，取C1上电荷q1和 L2的磁链为φ2广义坐标，便有

拉格朗日函数

对于广义坐标q1的广义力，Qel=us-φ˙2由拉格朗日方程（4）可得

对于广义坐标φ2的广义力Qe2=q˙1，由拉格朗日方程（4）可得

式（5）、（6）便是基尔霍夫电压方程和电流方程．

图4 RLC串并联电路

如将电压uC1、uC2和电流iL1、iL2作为电路的状态变量，可以得到电路的状态方程为

[1]周衍柏.理论力学教程[M].第二版.北京：高等教育出版社，2004.

[2]石生.电路基本分析[M].北京：高等教育出版社，2004.

Application of Lagrange's Equation in Circuit

WANG Changjiang
（Sichuan Vocational and Technical college，Suining Sichuan 629000)

This paper studies the mechanical vibration and electromagnetic vibration regulation of similarity, establishes force-electric simulation, combined electrical quantity into the corresponding generalized mechanical quantity, analyzes circuit problems using Lagrange equation.

Force-electric Simulation；Lagrange Equation；Circuit Analysis

TM13

B

1672-2094(2013)05-0163-02

责任编辑：张隆辉

2013-07-18

王长江（1965-），男，四川渠县人，四川职业技术学院电子电气工程系副教授.