激光驱动下腔与玻色-爱因斯坦凝聚中的量子相变*

2013-04-14刘妮

物理学报 2013年1期

刘妮

(山西大学物理电子工程学院理论物理研究所，太原 030006)

(2012年6月14日收到;2012年8月9日收到修改稿)

1 引言

玻色-爱因斯坦凝聚(BEC)与高精细光腔实验的组合[1,2]开辟了新的探索，因为它不仅显示了最高量子能级上物质光相互作用，而且在量子信息过程中有潜在的应用.在该新奇的装置下，所有的超冷原子占据在相同的量子态上，而且整体与单模光场发生相同的相互作用，结果能达到强的原子光耦合强度.这种强耦合开拓了新的研究方向，如腔光力学的实现[3]和探索量子门的奇异多体量子现象，其中量子门是用腔调制的长程相互作用[4-11].三十多年前已预测到Dicke模型存在正常相到超辐射相的量子相变[12-15].最近，实验上在BEC腔系统中首次观测到该相变[16,17].实验中引入了动量依赖的自旋态，并且典型的“no-go理论”由此而克服[18].我们知道“no-go理论”是排除超辐射相的.并且，引入了由光格势诱导的有趣的原子光相互作用[19].由于该非线性原子光相互作用项中原子数N的存在，导致非线性相互作用可以达到与有效腔频相同的数量级，甚至大于该数量级.在该强的相互作用区，丰富的动力学特性和新的量子相变已被预测[20,21].本文不但考虑了该强相互作用对相图的影响，而且引入了外场驱动的作用.该外场驱动强度会改变相变点的位置，当强度增大时相变会提前发生，但强度达到2 MHz时，基本只有超辐射相存在.可见，外场强度不能无限制地调大，而且实验上外场驱动强度通过激光是很容易调控的.

2 拓展的Dicke模型

2.1 理论模型

Dicke模型描述一个二能级原子系综集体耦合到一个单模量子化电磁场的情形，当原子-场耦合强度超过某个临界值时，系统会经历一个零温量子相变.低于这个临界值时系统处于正常相，此时所有原子处于基态，辐射场处于真空态;反之系统处于超辐射相，此时原子激发态具有宏观布居数，光场处于相干态.这种由集体量子现象引起的超辐射量子相变在原子物理和量子光学中已为人们广泛研究.此外量子混沌、基态纠缠、临界行为等与量子相变相关的领域也为大家所关注.我们依据Esslinger组的实验装置[16](即所有Rb87的超冷原子跟光腔诱导的单模光场发生集体相互作用)，运用集体自旋算子可以给出拓展的Dicke模型的哈密顿量如下(h=1)：

2.2 含时幺正变换

该模型的哈密顿量(2)中相互作用部分显含时间，为此做一个含时规范变换[22]ˆU(t)=eiωfSzt，使其在新规范下不含时，其中

2.3 平均场理论处理系统

由于原子数N=105，哈密顿量(3)所统治的基态特性可以考虑用角动量算符的Holstein-Primafoff变换来得到，这种变换是用单模玻色子来重新描述集体自旋算子的，其数学形式为

基于方程(8)和基态能量H0，我们得到了原子数的期待值随序参量变化的相图.

3 相图及分析

图1为原子光非线性相互作用U=0的情形下，被激发原子数〈Sz〉/N的期待值作为原子-场耦合强度g和外场驱动强度Ω的函数.当U=0时，系统退化为标准的Dicke模型加外场驱动，这样我们就能看外场驱动强度对系统基态特性的影响.从图1可以看出，当Ω=0时系统发生了标准的Dicke量子相变，临界相变点在g=1处.当Ω增大时，系统仍然是发生正常相到超辐射相的量子相变，但是在耦合强度小于1时就发生了相变.而且外场驱动增加到2时基本上系统只存在超辐射相，也就是说外场驱动不能太大;图2中我们将参数重新取定为Δ=-20，Δ0=0.05，图像呈现的物理与图1是一致的.

图1 被激发原子数〈Sz〉/N的期待值作为原子-场耦合强度g的函数，参数取值Δ=20，Δ0=0.05

图2 被激发原子数〈Sz〉/N的期待值作为原子-场耦合强度g的函数，参数取值Δ=-20，Δ0=0.05

图3清晰地描述了非线性原子光相互作用U对被激发原子数〈Sz〉/N的期待值的影响，自变量是原子-场耦合强度g.图中实的彩色线是U取正值，虚的彩色线是U取负值，黑线对应标准Dicke 模型，临界相变点是 1，且〈Jz〉(g≤1)=-0.5，〈Jz〉(g≥1)/=-0.5，发生了正常相到超辐射相的量子相变.从不同的U对应的线可以看出，U越大，相变点对应的耦合强度越小，且原子被激发越小;反之U越小，相变点对应的耦合强度越大，且原子被激发越大.也就是说U越大系统越容易发生相变，但是原子的宏观占据并不大.

图3 被激发原子数〈Sz〉/N的期待值随原子-场耦合强度g的函数，参数取值Δ=20，Δ0=0.05

图4 被激发原子数〈Sz〉/N的期待值随原子-场耦合强度g和非线性原子光相互作用U的变化图像，参数取值Δ=20，Δ0=0.05

图4给出的是原子-场耦合强度g和非线性原子光相互作用U对被激发原子数的影响.如图所示，当非线性原子光相互作用确定时，即U给定为某一固定值，被激发原子数的期待值随着耦合强度g的增大而增大，且蓝色区域和彩色区域的交界线为临界相变边界.g小于临界相变点时，〈Sz〉/N=-0.5(图示蓝色区域)，表示原子未被激发;g大于临界相变点，〈Sz〉/N＞-0.5(图示彩色区域)，表示原子被不程度激发，这主要依赖于耦合强度的取值，也就是图3给出的不同取值U的情形.当小于临界相变界时，无论耦合强度和非线性原子光相互作用怎样变化，原子数的期待值保持-0.5，没有激发，即系统处于正常相;当大于临界相变界时，任取定耦合强度g，被激发原子数的期待值随非线性原子光相互作用强度线性减小，但该区域内全部是超辐射相.需要强调的是U=0的情形所展示的相图对应标准Dicke模型的量子相变.

图5 被激发原子数〈Sz〉/N的期待值随原子-场耦合强度g和外场驱动强度Ω的变化图像，参数取值Δ=20，Δ0=0.05

图5主要展示的是无非线性原子光相互作用下外场驱动强度Ω对原子激发的影响.从图可以看出：Ω较小时系统处于蓝色正常相区;当外场驱动强度Ω增强时，系统发生了二级相变(蓝色-彩色)，而且当Ω增大时，随着原子-场耦合强度增强，系统很快处于超辐射相;当Ω=2时只有在g很小时系统处于正常相，很快系统就发生了正常区到超辐射区的量子相变(蓝色-彩色)，也就是说原子的宏观占据数很多.可见，若想观测到由朗道对称破缺导致的二级相变，外场驱动强度不能取得过大，这样平均场理论会失效.

4 结论

本文在标准Dicke模型的基础上加入了原子光的非线性相互作用和含时的外场驱动.在平均场近似理论和含时幺正变换方法下，我们推导出了含时系统的基态能量表达式以及表征基态特性的方程.本文主要调节不同的参数给出了丰富的相图，而且相图所展示的性质最近已从实验上验证[16]，尤其是非线性相互作用和外场驱动强度对量子相变的影响.

[1］Brennecke F，Donner T，Ritter S，Bourdel T，K¨ohl M，Esslinger T 2007Nature450 268

[2］Colombe Y，Steinmetz T，Dubois G，Linke F，Hunger D，Reichel J 2007Nature450 272

[3］Brennecke F，Ritter S，Donner T，Esslinger T 2008Science322 235

[4］Maschler C，Ritsch H 2005Phys.Rev.Lett.95 260401

[5］Chen G，Wang X G，Liang J Q，Wang Z D 2008Phys.Rev.A 78 023634

[6］Morrison S，Parkins A S 2008Phys.Rev.Lett.100 040403

[7］Larson J，Damski B，Morigi G，Lewenstein M 2008Phys.Rev.Lett.100 050401

[8］ Larson J，Martikainen J P 2010Phys.Rev.A 82 033606

[9］Gopalakrishnan S，Lev B L，Goldbart P M 2009Nat.Phys.5 845

[10］Szirmai G，Nagy D，Domokos P 2009Phys.Rev.Lett.102 080401

[11］Bastidas V M，Emary C，Regler B，Brandes T 2012Phys.Rev.Lett.108 043003

[12］Hepp K，Lieb E H 1973Ann.Phys.(N.Y.)76 360