双函数展开法及m KdV方程的行波解

李向正

(河南科技大学数学与统计学院，河南洛阳471023)

0 引言

现代物理学的进展在很大程度上为依赖于非线性数学及求解非线性方程方法的进展［1］。近50年来，利用不同的方法寻求非线性发展方程的显式解成为许多研究者的主要目标，已经构造出了很多行之有效的方法，诸如反散射方法、贝克隆变换法、广田双线性算子法、截断潘来维展开法、双曲正切函数展开法及其扩展、Jacobi椭圆函数展开法、F展开法［2］、辅助方程法［3－4］、(G'/G)展开法［5］等，然而，至今尚未有一种统一的方法用于处理所有类型的非线性发展方程。本文提出一种求解非线性发展方程的双函数展开法，在第1部分简介该方法，第2部分以mKdV方程为例介绍方法的应用，最后给出一些结论。

1 双函数展开法简介

给定非线性偏微分方程(PDE)，为简单起见以含两个自变量为例，

P为其变元的多项式，其中包含有非线性项和高阶偏导数项。

求方程(1)的行波解

其中，k＞0;ω为待定常数。将式(2)代入方程(1)，则方程(1)化为u(ξ)的常微分方程(ODE)

设方程(3)的解u(ξ)可表示为f(ξ)和g(ξ)的多项式

其中，a0，a1，…，an和b1，…，bn是待定常数，正整数n由具支配地位的非线性项与最高阶偏导数项的齐次平衡［4－6］确定，f(ξ)和g(ξ)分别为

其中，r≥0为待定常数;z(ξ)满足二阶线性ODE

方程(6)的解易于判定并给出。可以解出:

(Ⅰ)当δ=－1时，

(Ⅱ)当δ=0时，

(Ⅲ)当δ=1时，

其中，c1、c2为任意常数。显然f(ξ)和g(ξ)满足如下关系

其中，z'2(ξ)=2b－δz2(ξ)，b为积分常数，且b≠δr2/2。

将式(4)代入方程(3)，利用式(10)可将方程(3)的左端变成f(ξ)和g(ξ)的多项式。置f(ξ)和g(ξ)的各次幂项的系数为零，得到包含所有待定常数的非线性代数方程组。解上述代数方程组(可借助Mathematica或Maple)，将结果代入式(4)得PDE(1)的行波解。

2 m KdV方程的行波解

考虑如下形式的mKdV方程

其中，β＞0是实常数。寻找方程(11)的行波解

其中，k＞0;ω为待定常数。

利用行波约化式(12)，方程(11)转化为u=u(ξ)的ODE

关于ξ积分一次得

其中，C是待定积分常数。

考虑方程(13)中u″和u3的齐次平衡(n+2=3n⇒n=1)，可设方程(19)的解具有形式

其中，a0、a1、b1是待定常数。

将式(14)代入方程(13)，利用方程(10)，合并f(ξ)和g(ξ)的同类项，方程(13)的左侧可以转化为f(ξ)和g(ξ)的多项式(其中若出现g2(ξ)项，则可利用关系式(10)将其转化为f(ξ)的多项式)。令多项式的系数为零，得到一组关于a0，a1，b1，k，ω和r的代数方程组，解此代数方程组，可得到7种类型的解:

将解(15)～(21)分别代入方程(14)，可得到mKdV方程(11)的精确行波解。

(ⅰ)将解(15)代入方程(14)可得mKdV方程(11)的3种类型的行波解。

其中c1和c2为任意常数(下同)。

(ⅱ)将解(16)代入方程(14)可得mKdV方程(11)的3种类型的行波解。

当δ=－1，C=0时，

其中，b≥0为任意常数。

当δ=0，C=0时，

其中，b≥0为任意常数。

当δ=1，C=0时，

其中，b≥0为任意常数。

(ⅲ)将解(17)代入方程(14)可得mKdV方程(11)的3种类型的行波解。

当δ=－1，C=0时，

当δ=0，C=0时，

当δ=1，C=0时，

(ⅳ)将解(18)代入方程(14)可得mKdV方程(11)的3种类型的行波解。

当δ=－1，C=0时，

当δ=0，C=0时，

当δ=1，C=0时，

(ⅴ)将解(19)代入方程(14)可得mKdV方程(11)的2种类型的行波解。

(ⅵ)将解(20)代入方程(14)可得mKdV方程(11)的2种类型的行波解。

(ⅶ)将解(21)代入方程(14)可得mKdV方程(11)的2种类型的行波解。

当δ=－1，C=0时，

当δ=1，C=0时，

3 结论

本文利用双函数展开法求出了mKdV方程的许多行波解，其中，u1～u3，u10～u18为文献［5，7］中没有出现的新解。首先，该方法的要点在于假设行波约化所得ODE的解可表示为f(ξ)和g(ξ)的多项式，多项式的阶数可由齐次平衡得到，多项式的系数可通过求解相关的代数方程组得到。函数f(ξ)，g(ξ)由函数z(ξ)表示，z(ξ)满足一个二阶线性ODE。第二，解所得代数方程组非常重要，一般可借助于Mathematica或Maple软件解出，然而对于复杂的非线性演化方程组，其解未必能解出，但双函数展开法依然十分重要。第三，双函数展开法直接、简洁、基本和有效，其中二阶线性ODE的解众所周知。本方法还可用于求解Klein-Gordon方程［8］，KdV方程［9］，KdV-Burgers方程［10］，KP方程［11］等，将陆续报告相关结果。

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