基于自适应形态提升小波与改进非负矩阵分解的发动机故障诊断方法

李兵，徐榕，贾春宁，郭清晨

(1.军械工程学院 四系，河北 石家庄050003;2.总装备部驻上海地区军事代表室，上海201109)

0 引言

振动信号分析是对发动机进行结构、故障分析和状态监测最为广泛、也是最行之有效的方法之一。其中，振动信号处理与特征参数提取是实现发动机故障诊断的关键与核心［1］。

小波分析具有多尺度特性和“数学显微”特性，因此近年来小波分析被越来越广泛地应用于发动机故障诊断中并取得了很好的效果［2-7］。然而传统的小波分析是基于频率的线性分解，对于具有特定非线性形态特征的信号，应用传统的线性小波分析方法有时得不到很好的效果。

形态小波变换是以数学形态学为基础的一种小波变换，是小波理论非线性扩展研究的一个方向，它是由Goutsias 和Heijmans 在2000年时首先提出的［8-9］，它成功地将大多数线性小波和非线性小波统一起来，并形成了多分辨分析的统一框架。作为一种非线性小波，形态小波兼顾数学形态学的形态特性与小波的多分辨率特性，具有良好的细节保留和抗噪声性能。目前，形态小波已经在图像压缩、图像融合以及电力系统故障检测等方面得到了广泛的应用［10-13］，在机械设备振动信号中的分析也开始崭露头角［14-16］。

尽管形态小波具有很多优良的性质，但也存在一个明显的限制，那就是滤波器结构是固定的，即滤波算子对信号全局来讲是固定不变的;而信号的突变处往往要求具有不同于平缓处的滤波特性，需要能够根据信号局部特性的不同而对滤波算子进行相应的改进［17-20］。

因此，本文在形态小波和自适应小波理论的基础上，提出了一种自适应形态梯度提升小波分解方案(AMGLW)，在有效保留反映发动机故障特征的信号分量的前提下可以同时抑制噪声;在此基础上，提出采用改进非负矩阵分解技术(INMF)对信号进行特征提取，计算用于发动机故障诊断的特征参数集。采用实测的发动机在5 种状态下的振动信号对本文提出的信号处理与特征参数计算方法进行了验证，并与传统的方法进行了对比。

1 自适应形态提升小波

1.1 形态小波的概念

将线性小波中的线性滤波器用非线性形态滤波器代替，就可以构成一类非线性形态小波，主要分为对偶小波和非对偶小波。对偶小波包含2 个分析算子和一个合成算子，分析算子一个作用于信号，另一个作用于细节信号。非对偶小波是对偶小波的一个特殊情况，它包含2 个合成算子，信号合成算子与细节信号合成算子，线性正交小波属于非对偶小波，其信号分析算子与细节分析算子分别对应于低通和高通滤波器;有关形态小波的具体概念和详细阐述可参见文献［9］。

1.2 自适应形态提升小波

Piella 等［17-20］提出了一种根据信号局部梯度的自适应更新方案，其框架如图1所示。

图1中D 为判决函数，λd为更新算子，π 为预测算子;φ0为信号合成算子.⊕d、Θd分别为广义加法和减法算子。在标准提升方法的更新过程中，更新算子和加、减法算子固定不变。

虽然Piella 等提出的自适应提升小波具有非冗余性和完美重构等优点，但对滤波器的限制十分严重，而且其本质仍然是线性小波变换，很难采用更加灵活的方式构造非线性小波，比如形态小波。

图1 自适应更新提升方案Fig.1 Adaptive update lifting scheme

本文提出了一种自适应形态梯度提升小波(AMGLW)方案，其结构图与图1一样，与Piella 等提出的方法不同，本文采用形态梯度提升算子和平滑滤波器构造自适应形态提升小波变换。

在判断信号奇异点上采用与Piella 等相同的方法，即梯度法，信号的局部梯度值定义为

判别函数定义为

式中T 为阈值。

当d(n)=1 时，采用形态梯度更新算子，即

提升后的信号和细节系数分别为

当d(n)=0 时，采用平滑算子，令提升后的信号和细节系数分别为

由上述各式可以看出，当信号局部梯度值较大时即信号出现冲击特征时，采用梯度提升算子，保留信号的冲击特征;当信号较为平滑时，采用均值滤波，以有效地滤除噪声。

2 改进非负矩阵分解

虽然AMGLW 能够有效地提取出原始信号中包含的故障信息，但处理后的空间维数仍然非常高，不能直接用来进行分类。为节省存储空间，降低计算复杂度，避免“维数灾难”，必须对信号进行进一步的特征提取。

非负矩阵分解(NMF)算法是1999年由Lee 和Seung［21］在《Nature》上提出的一种新的特征提取方法。非负矩阵分解的心理学和生理学构造依据是对整体的感知由对组成整体的部分的感知构成的(纯加性的)，这也符合直观的理解:整体是由部分组成的，因此它在某种意义上抓住了智能数据描述的本质。此外，这种非负性的限制导致了相应描述在一定程度上的稀疏性，稀疏性的表述已被证明是介于完全分布式的描述和单一活跃分量的描述之间的一种有效数据描述形式。非负矩阵分解算法实现简便，而且具有可解释性和明确的物理意义，已经引起许多科学家和研究人员的广泛重视。

2.1 非负矩阵分解主要思想

非负矩阵分解的主要思想为:已知非负矩阵V，寻找适当的非负矩阵因子W 和H，使得

即给定数据向量集合Vn×m，其中n 为数据样本的维数，m 为集合中数据样本的个数，这个矩阵可以近似的分解为矩阵Wn×r和矩阵Hr×m的乘积。一般情况下，r 的选择要满足(n+m)r ＜nm，从而W 和H的维数都会小于原始矩阵V，由此可得实现对原始数据维数压缩。

2.2 非负矩阵分解的算法实现

2001年Lee 和Seung 提出了简化的计算非负矩阵分解的2 种算法［22］。一种算法以最小化剩余的Frobenius-Norm 为目标函数;另一种算法则是最小化修正的Kullback-Laebler 散度为目标函数。

本文采用最小化修正的Kullback-Laebler 散度为目标函数，给定非负矩阵Vn×m，寻找矩阵Wn×r和矩阵Hr×m，使得矩阵V 和矩阵WH 的Kullback-Laebler 散度最小，因此非负矩阵分解算法可转化为如下的带约束的优化问题:

Lee 和Seung 等提出了采用乘性迭代规则对上述优化问题进行求解，为了消除尺度对于基矩阵的影响，对基矩阵W 限制其L-1 范数为1.

对应于(10)式的乘性迭代规则为迭代公式如下所示:

由(11)式～(12)式可以看出，在上述算法的每一步迭代过程中，W 和H 的新值可以通过其当前值与一些因子的乘积来获得，(13)式保证了基矩阵的范数为1.

2.3 非负矩阵分解的改进

原始的非负矩阵分解技术是一种非监督的学习算法，因此由非负矩阵分解技术直接得出的特征参数并不一定取得很好的分类效果，这已经在某些研究中得到了验证。文献［23 -24］提出了一种鉴别非负矩阵分解方法，该方法将鉴别分析直接引入到NMF 的优化过程中，取得了比原始NMF 更好的分类精度，但该方法存在着算法无法收敛的问题;文献［25］将NMF 矩阵分解后得到的编码系数进一步进行Fisher 线性鉴别分析，同样取得了较好的分类效果。文献［26］提出了一种更为简单的改进方法，该方法在NMF 分解后采用Fisher 判别准则对分解后的基向量进行选择，在提高分类精度的同时进一步压缩了特征维数。本文采用这种方法对NMF 进行改进。

该方法的主要思想为，NMF 算法收敛后得到基向量矩阵Wn×r和系数矩阵Hr×m(特征矩阵)，计算系数矩阵中每个特征的Fisher 判别度:

式中:C 为样本类别数;mik和mjk分别为第i 类和第j类样本第k 个特征的均值;σik和σjk分别为第i 类和第j 类样本第k 个特征的方差。Fisher 判别度越大，证明该特征的区分性能越高。

因此，根据上式计算的F 值对所有r 个特征进行排序，选择前d 个特征所对应的基向量组成改进后的基向量矩阵W'n×r，由此可以去除原基向量矩阵中与分类信息无关的基向量，不但进一步压缩了特征向量的维数，而且可以提高特征子集的分类精度。

3 发动机故障诊断

3.1 发动机试验

实验在某型发动机上进行，加速度传感器粘贴在第一缸缸盖处，实验在空间较大的车间内进行，计算机、电荷放大器等装置在车间里的控制间内放置。实验时发动机转速为1 200 r/min，采样频率为40 kHz，采样点数为发动机一个工作周期。为结合发动机故障诊断研究的需要，实验中除采集正常运行工况的数据外，还根据实际的实验条件，采用人为手动设置故障的方式，对部分发动机典型的故障模式进行模拟。实验中设置发动机在5 种状态下工作，分别为正常、1 缸失火、2 缸失火、进气门间隙过大、排气门间隙过大。实验中在发动机每种运行状态下采集20 个样本，共100 个样本。

图2 发动机在正常状态下的振动信号Fig.2 Vibration signal from engine with normal state

图2为发动机在正常状态下缸盖振动信号的时域波形，图中给出了信号中主要冲击分量所应的发动机工作过程。由于传感器安装在发动机1 缸体上，因此信号中的主要分量为1 缸燃爆信号、1 缸进、排气门落座信号和2 缸燃爆信号。

3.2 基于AMGLW 的发动机信号处理

本文分别采用传统的线性小波变换(采用db5小波)、极大形态提升小波、Piella 提出的自适应提升小波(ALW)和本文提出的自适应形态梯度提升小波(AMGLW)对发动机正常信号进行分解，分解层数为3.在分解中，设定判别函数的阈值为信号梯度最大值的1/2.

图3 图2中信号4 种小波分解的第3 层近似系数Fig.3 Third level approximation coefficient of signal in Fig.2 deposed by four type wavelet schemes

图3给出了采用前述的4 种小波分解方法对信号进行3 层分解后的第3 层近似信号。可以发现，本文提出的自适应形态梯度提升小波具有最好的冲击信号提取效果。

图4为发动机在5 种状态下的振动信号。图5为采用AMGLW 对发动机5 种状态下振动信号进行3 层分解后近似系数的波形图，从中可以看出，AMGLW 在大幅压缩信号长度的前提下，不仅有效地保留了反映发动机工作状态地冲击特征信号，而且大大降低了噪声的干扰，为准确有效地判断发动机工作状态提供了坚实的基础。

3.3 特征提取

采用AMGLW 对发动机故障信号进行3 层分解后，可以得到得到一个512 ×100 的样本集。

每类状态下选择10 个样本作为训练样本，这样可以得到训练矩阵X512×50，表1给出了发动机故障信号经AMGLW 处理后的部分训练样本向量集，表中每行对应发动机的一种工作状态。

图4 发动机在5 种状态下的振动信号Fig.4 Vibration signals from engine with five states

在对发动机训练样本集X 采用NMF 技术进行分解之前，首先采用PCA 技术确定基向量秩r，经PCA 分析后发现，前40 个特征值的累积贡献率超过了99%，因此在对发动机故障信号进行非负矩阵分解时选择基向量秩为r=40.

在训练过程开始之前，采用PCA 对非负矩阵分解的基向量和系数向量进行初始化。采用PCA 对X 进行分解后，取前40 个特征值对应的特征向量的绝对值作为初始化的基矩阵W，取X 在W 上的投影系数的绝对值作为初始化的系数矩阵H.非负矩阵分解训练迭代次数设置为200.

训练结束后可得到基向量矩阵W512×40和编码矩阵H40×50，表2给出了由非负矩阵分解得到的40 个基向量中部分基向量，表3给出了由非负矩阵分解得到的部分编码系数，即特征参数，表3中的25 个数据与表1中25 个样本为一一对应关系。

图5 采用AMGLW 对图4信号进行3 层分解后近似系数Fig.5 Third level approximation coefficients of signals in Fig.4 deposed by AMGLW

图6给出了由(14)式计算出的由非负矩阵分解后得到的40 个特征值的Fisher 判别度，可以看出部分特征值的Fisher 判别度明显高于其他特征值，因此，本文选择前20 个Fisher 判别度较大的特征值所对应的基向量作为改进后的基向量矩阵W'.

对于训练样本来说，可用编码矩阵对其进行描述，对于剩余的测试样本，可采用下式得到编码矩阵:

由此可得到描述发动机故障信号的特征参数集。本文将基于AMGLW 和NMF 技术得到的特征参数集记为FAMGLW-NMF，将基于改进NMF 技术所得到的特征参数集记为FAMGLW-INMF.

表1 非负矩阵分解部分训练样本集示意图(每行代表一种状态)Tab.1 Part of the training samples for NMF (Each row represents one engine state)

表2 非负矩阵分解得到的基向量(部分)示意图Tab.2 Part of the basic vectors acquired by NMF

表3 非负矩阵分解得到的编码向量示意图(每行代表一种状态)Tab.3 Coding vectors acquired by NMF (Each row represents one engine state)

图6 非负矩阵分解40 个特征值的Fisher 判别度Fig.6 Fisher discriminate degree of the forty features acquired by NMF

3.4 发动机故障分类

为证明提出的特征提取方法的有效性和优越性，本文还采用广泛应用的统计特征来提取信号的特征，本文采用了4 个有量纲统计特征参数(均值、标准差、均方根和峰-峰值)和6 个无量纲特征参数(偏度、峭度、峰值指标、脉冲指标、波形指标和裕度指标)作为统计特征参量，分别计算原始信号、包络信号和小波3 层分解后各层系数的统计特征参数作为一个特征参数集，其维数为60，记该特征参数集为FSTAT.此外，为验证AMGLW 对发动机信号处理的效果，本文还计算了AMGLW 3 层分解后各层系数的统计特征参数，其维数为40，记为FAMGLW-STAT.

采用前述各种特征参数提取方法，可得到描述发动机故障信号的4 个特征参数集，即FSTAT、FAMGLW-STAT、FAMGLW-NMF和FAMGLW-INMF.为验证结果的通用性，采用3 种常见的分类器，即最近邻分类器(KNNC)、人工神经网络(BP-NN)和支持向量机分类器(SVM)对发动机的5 种状态进行分类。

在分类实验中，从发动机每类状态下随机选择10 个样本作为训练样本，剩余的10 个样本作为测试样本，为保证结果的有效性，将此随机选择过程重复50 次，并将50 次运算结果的平均值作为评价标准。表4给出了前述4 个特征子集的分类精度。

表4 各特征子集的发动机故障诊断精度Tab.4 Engine fault diagnosis accuracy of different feature subsets

由表4可以看出，在发动机故障诊断中，本文所提出的基于AMGLW 和改进非负矩阵分解的特征子集FAMGLW-INMF取得了最好的分类精度，而且特征子集的维数也比传统的统计特征参数FSTAT、FAMGLW-STAT和FAMGLW-NMF低。这一方面是由于AMGLW 能够有效地提取振动信号中能够反映发动机工作状态的有用分量，另一方面是因为改进的非负矩阵分解不仅可以去除原基向量矩阵中与分类信息无关的基向量，还进一步降低了特征向量的维数，因此可以以较少的特征参数获得较高的故障诊断精度。

4 结论

1)提出了一种自适应形态梯度提升小波(AMGLW)方法。针对传统小波变换滤波器结构固定的缺点，采用信号的局部梯度作为判断信号奇异性的度量指标，在信号突变处采用提出的形态梯度提升算子以保留信号的冲击特征，在信号缓变处采用平滑算子以抑制噪声。

在发动机故障信号中的应用表明，AMGLW 能在强噪声和强干扰条件下用较少的小波系数有效地提取信号中的冲击特征，因此可有效地提取振动信号中能够反映发动机工作状态的有用分量。

2)在采用AMGLW 对发动机振动信号处理的基础上，采用改进非负矩阵分解技术对信号进行特征参数提取，实际的故障诊断结果表明，与传统的信号处理与特征提取技术相比，本文提出的基于AMGLW 与改进非负矩阵分解的特征子集不仅维数较低，而且具有更高的分类精度。

本文提出的信号处理与特征提取方法为准确判断发动机工作状态提供了一种新的行之有效的技术手段，并可推广至其他机械设备比如齿轮、轴承等设备的故障诊断中去。

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