谈二次函数性质的妙用

陈芳

〔关键词〕 数学教学；二次函数；性质；不等式

〔中图分类号〕 G633.62 〔文献标识码〕 A

〔文章编号〕 1004—0463（2013）02—0089—０1

我们知道，二次函数是一个极为重要的初等函数，在中学数学中，许多问题都可以借助于二次函数来解决.

根据二次函数的图象可知它有这样的性质：对于二次函数f（x）= ax2＋bx＋c （ a>0），（Ⅰ）若f（x）≥0，则Δ=b2－4ac≤0；（Ⅱ）若Δ=b2－4ac≤0，则f（x）≥0；（Ⅲ）若二次函数f（x）= ax2＋bx＋c与x轴有两个交点，则Δ=b2－4ac>0.

下面应用上述性质来证明一些不等式.

一、用性质（Ⅰ）来证明不等式，就是设法构造一个二次项系数为正数的二次函数，并使得f（x）≥0，从而由Δ≤0推出所需证的不等式

例1：（柯西不等式）设a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn为任意实数，求证（a1b1+a2b2+…anbn）2≤（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2），当且仅当==…=时，等号成立.

证明：作关于x的二次函数f（x）=（a12+a22+…+an2）x2-2（a1b1+a2b2+…anbn）x+（b12+b22+…+bn2）.

（1） 若a12+a22+…+an2=0，则a1=a2=…=an=0 ，显然不等式成立；

（2） 若a12+a22+…+an2≠0，则有f（x）=（a1x-b1）2+（a2x-b2）2+…+（anx-bn）2≥0且a12+a22+…+an2>0. 所以Δ=b2－4ac=4（a1b1+a2b2+…anbn）2-4（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）≤0，所以（a1b1+a2b2+…anbn）2≤（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）.

当且仅当==…=时，等号成立.

二、应用性质（Ⅱ）来证明不等式，就是把要证明的不等式表示成关于某一字母的二次三项式（使二次项系数大于零），再推证其Δ≤0，由此判定所要证的不等式成立

例2：设x、y、z∈R，求证：x2－xz＋z2＋3y（x＋y－z）≥0.

证明： 设f（x）=x2－xz＋z2＋3y（x＋y－z） =x2+（3y－z）x＋（3y2－3yz＋z2），于是f（x）可看作是关于x的二次函数，且二次项系数大于零.则有Δ=（3y－z）2－4（3y2－3yz＋z2）=－3（y－z）2≤0，∴f（x）≥0，∴x2－xz＋z2＋3y（x＋y－z）≥0.

例3：求证：a2＋b2＋5≥2（2a－b）.

证明：设f（a）= a2＋b2＋5－2（2a－b）=a2－4a＋b2＋2b＋5，于是f（a）可看作是关于a的二次函数，且二次项系数大于零，则Δ=（－4）2－4（b2＋2b＋5）=－4（b＋1）2≤0，∴f（a）≥0，∴a2＋b2＋5≥2（2a－b）.

例4：设x、y、z∈R，且＋＋＝，求证x2+y2+z2≥2（xycos+yzcos+zxcos）.

证明： 设f（x）=x2+y2+z2-2（xycos+yzcos+zxcos） =x2-2（ycos+zcos）x+（y2+z2-2yzcos），于是f（x）可看作是关于x的二次函数，且二次项系数大于零.则Δ=4（ycos+zcos）2-4（y2+z2-2yzcos）=-4[y2（1-cos2）+z2（1-cos2）-2yzcoscos+2yzcos（+）] =

-4（y2sin2+z2sin2-2yzsinsin）=-4（ysin-zsin）2≤0，∴f（x）≥0， ∴x2+y2+z2≥2（xycos+yzcos+zxcos）.

三、应用性质（Ⅲ）来证明不等式，就是构造一元二次函数，再推证其一元二次函数与x轴有两个交点，由Δ=b2－4ac>0判定所要证的不等式成立

例5：实数a，b，c满足（a+c）（a+b+c）<0，求证：（b-c）2>4a（a+b+c）.

证明：由已知得当a=0时，b≠c，否则与（a+c）（a+b+c）<0矛盾. ∴当a=0时（b-c）2>4a（a+b+c）.当a≠0时，构造一元二次函数f（x）=ax2+（b-c）x+（a+b+c） ，则有f（0）=a+b+c，f（-1）=2（a+c）.而f（0）f（-1）=2（a+c）（a+b+c）<0，∴二次函数f（x）=ax2+（b-c）x+（a+b+c）与x轴有两个交点， ∴Δ=（b-c）2-4a（a+b+c）>0，∴（b-c）2>4a（a+b+c）.

编辑：刘立英