数学的才是本质的

　　数学的教学不仅要传授数学知识，更重要的是要发展学生的数学思维能力，这就要求我们在数学教学中关注数学的本质。所谓数学的本质，就是指数学本身所固有的、决定数学学科性质、面貌和发展的根本属性。从微观上说，数学本质就是具体数学内容的本质意义。因此，在教学中我们就得抓住“对基本数学概念的理解；对数学思想方法的把握；对数学特有思维方式的感悟；对数学美的鉴赏；对数学精神（理性精神与探究精神）的追求”。
　　在数学教学的实践、交流、研讨中，笔者深刻感受到由于一些数学教师身上数学涵养的缺失引起了对数学课本质的把握不当，使得数学的课堂中出现了种种弊端，以下就通过四个案例来诠释这个现象。
　　一、数学课成了常识课
　　【案例1】三年级下册《年、月、日》的教学片断中，教师安排了3个环节：
　　（1）理清年、月、日的关系。首先学生通过观察、讨论准备好年历卡，小组内整理出粗浅的年、月、日的知识，接着通过师生共同整理，获得年、月、日的知识。
　　（2）认识大月、小月。首先教师通过传授的方法，告诉学生大月、小月、平月的知识。接着让学生通过数拳头、编口诀等方法记住大月、小月、平月，最后在游戏中巩固新知。
　　（3）平年、闰年的认识、判断和计算。首先教师让学生汇报在观察年历卡的过程中发现的问题，接着让学生看书阅读有关平年、闰年的知识，并让学生通过讨论、列式计算得到平年、闰年的全年天数，最后通过练习判断平年、闰年。
　　我们不难发现，很多教师都用类似的方法进行教学：让学生通过对年历的观察、发现、交流等学习活动，探究年、月、日相关的知识。
　　关于年、月、日这样的知识，我们首先需要思考：数学课堂中年、月、日该教什么？如果是在语文课上该教什么？常识课上又该教什么？如果是语文课，或许我们需要更多地描写日的彩炫、月的变化、年的收获；如果是常识课，那可能需要研究年、月、日之间的变换。说到这里，我不由得忆起牛顿的万有引力：苹果落地只能说是自然现象，只有形成数学关系式F=G■才能被称为万有引力。盐水中的盐放得越多越咸是常识，只有得出■<■时才是数学的。
　　太阳升起又落下，春、夏、秋、冬又是春，这样的循环往复，如果让我们从数学的角度该如何刻画呢？——于是产生了时间单位。有了这样的单位，我们就可以用单位的叠加或单位的分割来测量时间的长短以及时间的流逝。由此可以看出时间单位产生的必要性、单位设计的合理性、单位的特点就成了这节数学课的本质，也是我们需要教给学生能终身受益的精髓之处。
　　回顾本课：我们看到教师带领学生更多的是认识大月、小月、平年、闰年，连起码的“时间单位应该是：大月、小月、平月、闰年、平年，而不是年、月”都不曾有过，更谈不上让学生建立起这些较长的时间观念，体会时空的变化。
　　二、数学课没有了科学味
　　【案例2】三年级下册《面积和面积单位》教学中，教师为了让学生体验统一面积单位的必要性，是这样安排的：首先让学生观察两个面积接近但形状不同的长方形，并思考比较方法。学生应用观察、重叠、割补等方法都无法比较，激发认知冲突。接着教师提供学具袋，内有长方形、圆片、正方形、正三角形，并提出操作要求：（1）同桌二人各选一个长方形，然后任选一种图片，在长方形上拼摆。（2） 遇到困难，可在小组内寻求帮助。学生动手拼摆，合作探究，操作中因提供的每种图片均不够摆满整个图形，出现了两种情况：A.小组内合作使用图片，把长方形摆满。B.先用图片摆出长方形的长，再摆出宽，计算大小。通过讨论、交流，得出：选择的图形不同，拼摆的结果也不相同；圆片有缝隙，不准确；长方形长宽不同，不方便；正方形和正三角形能测量出结果，比较起来，正方形更简便。因此比较两个图形的面积大小，要用统一的面积单位，正方形表示面积单位最合适。
　　看了这个教学过程，大部分教师可能会说，这样的设计符合之前案例中所涉及的单位产生的必要性。然而在这个教学环节中教师忽视了单位合理性的本质含义。片断中的这位教师在进行单位统一的测量需求下，选择了正方形的学具，指明它比较合理与方便，而这种所谓的合理性，仅仅只是一种方便和合适，缺少了科学本质——即匹配性。这种单位的匹配性，在所有单位教学的课里几乎都被遗忘了，为什么会去用长方形、正方形、圆形来进行测量，而不会用已经学过的线段来进行测量？我们得透过现象看本质：线段是一维的，面积是二维的，两者是不相匹配的。因此我们说单位时，总是用相同领域的属性作为标准去表示。
　　回顾本课：我们可以看到教师停留于自身经验，因而被表面现象所迷惑，导致在课堂教学中舍本求末。其实很多教师对于面积单位的理解也只停留在感性直观认识与自身经验相适应的程度上，因而总摆脱不了直观经验的局限性，这种经验性思维往往习惯于由经验到归纳，却很少考虑到它们的内在联系，因而使得数学课没有了科学味。
　　三、数学课成了割裂课
　　【案例3】六年级下册《用正比例解决问题》新授课的教学中，安排了这样的教学：首先教师出示题目：水龙头4小时漏水7.2升，照这样计算，10小时会浪费多少水？学生独立列式计算解决问题，并思考这个问题可能有几种解法。接着学生汇报并说说自己的想法，出现了以下两种情况：（1）7.2÷4×10＝18（升）；（2）10÷4×7.2＝18（升）。最后教师采用传授方式教学第（3）种解法：
　　解：设10小时会浪费x升水。
　　7.2÷4=x÷10
　　1.8=0.1x
　　x=18.
　　教学好三种解法后，教师小结：解此题共有两种方法：（1）、（2）都是利用正比例的意义来解答的，属于同一种方法，而（3）是利用方程的意义来解答的，是另一种方法。……
　　听了这位教师的小结后，我不由得细细品味起第三种解法来。我们可以看到方程的左右两边都表示每小时的滴水量，7.2÷4也可以写成■，x÷10可以写成■，7.2和x都表示滴水总量，4和10都表示滴水时间，它们的比值就表示每小时的滴水量，由此形成比例关系：■=每小时的滴水量，由于这两个对应数量比值一定，因此成正比例关系。至此，我们不难发现：无论用哪种方法解题都围绕着每小时的滴水量不变，第三种解法也是利用正比例的意义来列式的，因而这三种算式都属于同一种方法，只不过采用了不同的表达方式而已。
　　回顾本课：教师将第（3）种方法解读成了解方程，而忽略了此题重要的相关联的两种量。我想这正是由于执教者解读教材不到位、不深入，才导致数学课成了割裂课。
　　四、数学课成了看图说话课
　　【案例4】一年级上册第107页《解决问题》教学中，教师创设了一个情境：一片草地上，有白兔、灰兔。画面出现后，学生根据情境图找信息、提问题，经过多位学生补充后，终于得到两组不同的信息并提出了问题：（1）左边有8只兔子，右边有7只兔子，一共有多少只兔子？（2）有10只白兔，5只灰兔，一共有多少只兔子？此时教师很满意学生的回答，并请学生根据不同的信息解决问题。而当学生列出算式后，教师却未追问为什么用加法计算。
　　可以看到教师非常注重学生找信息、提问题的学习过程，学生也找得不错，同一个问题能从不同角度找到两组不同的信息，这也是解决问题教学中应培养的能力之一。但解决问题教学中除了会找信息、提问题之外，更重要的是用数学语言表述数量关系，形成解决问题的思路。我认为本节课在学生列出算式后更重要的是引导学生联系加法的含义，说说解决问题的数量关系：要求一共有多少只兔子？需要把左边的8只兔子和右边的7只兔子这两部分合起来（或需要把10只白兔和5只灰兔这两部分合起来），所以用加法计算。
　　回顾本课：教师虽然做到了让学生在生动具体的情境中学习数学，但由于教师把握不当，把本节课至关重要的数量关系轻描淡写，甚至不追问为什么用加法计算。我想学生虽然可以凭经验知道题目怎样算，但很难把自己的思维过程表达得清楚、完整。数学学科有它本身固有的特点，教学中教师应该适当渗透规范的数学术语和数学思想方法，而不是将数学课上成了学生的口语训练课，上成了看图说话课。如果坚持这种做法，在今后的分数加法、小数加法解决问题中学生能明白为什么用加法计算吗？数学课的本质在哪里呢？
　　我认为数学本质表现在解决问题中便是数量关系，因而在解决问题教学中首先是数量关系的积累和数学思考。纵观小学阶段，问题解决主要呈现了三种方式，体现了三方面本质。
　　1.一步计算解决问题——运算意义的应用与深化
　　四则运算的意义决定了加、减、乘、除法的应用范围，应用范围里涉及的内容就是基本的数量关系。因而一步计算解决的问题是加、减、乘、除法运算意义的运用，从根本上分析的是运算意义的应用与深化（数量关系）。细细咀嚼，我们不难发现：一步计算解决问题各数量之间的关系不外乎有这样几类：（1）总量与部分量的关系：部总关系（部分量＋部分量＝总量）、份总关系（每份数×份数＝总量）；（2）两个量的比较关系：相差关系（大数－小数＝相差数）、倍数关系（大数÷小数＝倍数）。因而四则运算的意义是数量关系最为基本的模型，学生在利用两条信息解决一个问题时，更多的是依靠直觉。
　　2.两步计算解决问题——解决问题的方法与步骤；
　　“用两步计算解决问题”的教学是在用一步计算解决问题、计算两步式题等知识基础上学习的。两步计算解决问题注重的是解决问题的方法与步骤，具体地说就是从看图的二步计算列式到二步计算的结构意义。它需要用三条信息来解决问题，是学生对信息的选择和组合，解决问题的策划和部署，从而形成先解决一个中间问题，再解决最终问题的解题步骤。
　　3.特殊的解决问题——数量关系的抽象概括及应用
　　我们知道数学解决问题里都含有一定的数量关系，而数量关系都是带有一定抽象性的。小学阶段数量关系除了有加、减、乘、除意义的基本数量关系外，也有密切结合某类实际问题概括而得的常见数量关系，是数量关系的抽象概括及应用。如“单价×数量=总价”、 “速度×时间=路程”、“工作效率×工作时间=工作总量”等。
　　那么如何挖掘数学的本质呢？我认为，不仅需要教师能从很高的知识层面对数学有所把握，还需要教师对小学数学的教学内容、教学目标、教学重难点及学生的认知水平等方面都有所研究。我们不妨从以下几方面入手：
　　第一方面，不断进修