单轴晶体材料的Casimir 效应调控研究*

汪 飞，曾 然，李齐良

(杭州电子科技大学通信工程学院，杭州310018)

Casimir 效应起源于量子真空零点能的涨落，1948 年Casimir 在理论上推导出真空中两个中性理想导体板间相互吸引［1］。随后Lifshitz 最先研究计算了两个半无穷介质平板间的Casimir 作用力的宏观理论［2］。近年来，Casimir 效应在实验和理论方面引起了广泛的关注。特别是随着纳米技术的发展，Casimir 效应在亚微米范围内对机械系统产生显著影响［3－5］，它可被利用于动力学装置，但也会使系统中可动的组装零件粘附在一起造成破坏，因此已成为当前的一个研究热点，此后许多物理学家对Casimir 效应的理论进行了发展。Lifshitz 理论的一个约束条件是假设两相互作用的介质都是各向同性，而且研究中大多是基于量子表面模式方法来计算两平行板间的Casimir 力。本文采用应力张量方法来计算，讨论真空中的两平行单轴晶体平板间的Casimir 效应，并研究板间距离以及晶体材料特征参数对Casimir 作用力的影响。

1 两个单轴晶体平板间的Casimir 力

考虑置于真空中的两块平行单轴晶体平板，设板厚为d，板间距为a。设xoy 面是两单轴晶体的表面，z 为垂直于表面的法线方向，取入射面为xoz 面，如图1 所示。

那么每个平板所受到的Casimir 力等于Maxwell电磁场应力张量zz 分量进行重整化［6］:

其中Tzz和T0zz分别对应介质板腔系统中两板间的应力张量分量和无介质板边界的自由空间应力张量分量，可由计算电场和磁场场量算符的真空态期望得到

图1 真空中两平板的位置

依据涨落－耗散定理［7］，场量的相关函数由Green 函数G(r，r';ω)和GB(r，r';ω)表示［8］，因此

类似地，T0zz亦为上述形式。计算重整化应力张量分量的本质即需减掉无限介质中的自由场部分，式(3)中的Green 函数利用散射场的Green 函数GSC(r，r';ω)=G(r，r';ω)－G0(r，r';ω)来替换，其中G0(r，r';ω)是无限介质中的Green 函数，然后将式(3)代回应力张量表达式就得到了~Tzz。考虑到两板之间真空，最后得到Casimir 力的计算公式为

是频率和波矢的积分，k 为平行于介质板表面的波矢分量，r 为介质材料板的反射系数。现在我们考虑半无穷厚度板的情形，这时材料板反射系数rN即简化成单界面反射系数r'N。对于单轴晶体板间Casimir 力的计算，被积函数频率积分路径可由实频换做虚频［9］，即取ω=iξ，则(4)转化成:

对于单轴晶体材料，其色散特性由Drude－Lorentz 型关系［10］描述如下:

其中‖和⊥表示与晶体光轴平行和垂直的方向，ωPυ为等离子体频率，描述晶体材料与电磁场之间相互耦合的能力，ωTυ为共振频率，γυ是材料对电磁波的吸收系数，同时也是相应电极化与磁极化的共振线宽。这些晶体参数确定材料的介电常数和磁导率的色散曲线结构。

当一束单色平面波在xoz 面内传播，我们只就光沿晶体的主截面入射时的特殊情况［11－12］讨论，此时反射光和折射光均在入射面内，介电常数为张量形式［13－14］。指标N=TE，TM 表示平面波在空间中的两种极化形式。反射系数可由传输矩阵法得到，代入式(5)后得到单轴各向异性晶体材料板间的Casimir 作用力。

2 仿真与结果分析

图1 中两单轴晶体板的电磁特性和几何参数完全相同。图2 ～图6 中的Fryy、Frzz分别表示单轴晶体板光轴沿y 轴和z 轴时的相对Casimir 力，其中ω0为一个相对频率单位，λ0=2πc/ω0为相应的真空波长。

图2 Fr 随板间距a 的变化

图2给出了相对Casimir 力Fr=FC/F0依赖于板间距的变化情况，其中F0=ħcπ2/240a4是理想导体板间Casimir 力［1］。参数取值如下:ωP‖=ω0，ωT‖=0.5ω0，ωP⊥=1.3ω0，ωT⊥=ω0，γυ=0.01ωTυ(υ=‖或⊥)，从图2 可以看出，两个半无穷厚度板间的相对Casimir 力随板间距的增大而递增，最后基本保持不变，表明Casimir 作用力在短距下受到较强抑制，而随着板间距的增大抑制逐渐放缓，恢复到最大约为理想导体板间力的1/10，并且光轴沿z 轴时的Casimir 力强于沿y 轴时的Casimir 力。

下面讨论单轴晶体板间的Casimir 力依赖于各参数的变化情况:

图3 Fr 随ωP‖的变化1

图4 Fr 随ωP‖的变化2

图3和图4 分别给出了Fr随等离子体频率ωP‖的变化情况，图3 中各参数取值如下:ωT‖=ω0，γ‖= 0. 01ωT‖，ωP⊥= 1. 3ω0，ωT⊥= 0. 5ω0，γ⊥=0.01ωT⊥，板间距a=λ0，Casimir 力依赖于等离子体频率变化的关系是单调递增的。这是因为在其他参数固定的情况下，等离子体频率越大的材料反射特性越强，因此Casimir 力越大。从图3 还可以看出光轴沿y 轴时的Casimir 力大于沿z 轴时的Casimir力。图4 中各参数取值为:ωT‖=ω0，γ‖=0.01ωT‖，ωP⊥=2ω0，ωT⊥=1.5ω0，γ⊥=0.01ωT⊥，板间距a=λ0，在这种情况下，当ωP‖＜1.36ω0和ωP‖＞4.11ω0时，光轴沿y 轴时的Casimir 力强于沿z 轴时的Casimir 力;而当1.36ω0＜ωP‖＜4.11ω0时，沿z 轴时的Casimir 力要大些。当考虑Fr随等离子体频率ωP⊥的变化情况时，可得到类似的结论。

Casimir 力依赖于共振频率的变化情况，如图5所示，参数取值如下:ωP‖=ω0，γ‖=0.01ωT‖，ωP⊥=1.3ω0，ωT⊥=0.8ω0，γ⊥=0.01ωT⊥，板间距a=λ0，分析过程和上面类似。

图5 Fr 随ωT‖的变化

图6显示了吸收系数γ‖对Casimir 力的影响，其中取ωP‖=3ω0，ωT‖=ω0，ωP⊥=1.3ω0，ωT⊥=0.5ω0，γ⊥=0.01ωT⊥，板间距a=λ0，可以看到Casimir 效应随吸收系数的增大而减弱，这是因为固定其他参数后吸收系数越大使得反射系数越小，进而导致Casimir 力变弱。从图6 还能看出，当γ‖＜1. 21ω0和γ‖＞28.61ω0时，光轴沿y 轴时的Casimir 力强于沿z 轴时的Casimir 力;而当1.21ω0＜γ‖＜28.61ω0时，沿z 轴时的Casimir 力要更大些。当考虑Fr随γ⊥的变化情况时，也可以得到相类似的结论。

图6 Fr 随γ‖的变化

从上述几种情形中，我们能够看出通过调控各参数的取值可以改变Casimir 力的大小，从而使Casimir 效应的强弱也受到影响。

3 结论

本文利用Maxwell 应力张量法计算了单轴晶体平板间的Casimir 作用力，并对该晶体板间的Casimir效应的调控作出了探讨。仿真结果表明，Casimir 效应的强弱受到板间距、材料特性的影响。在短距下Casimir 力受到较强抑制，但是随着距离的增大，这种抑制作用就会逐渐减弱，从而可考虑有效避免短距下的微机械元件间可能存在的粘附破坏。另外当各参数取不同值时以及晶体光轴在垂直和平行于平板表面时Casimir 力的大小也不同。因此通过改变板间距及材料特性可有效地调控Casimir 效应。

［1］ Casimir H B G. The Energy between Two Large Uncharged Conducting Plates［J］.Proc.K.Ned.Akad.Wet.，1948:793－797.

［2］ Lifshitz E M. The Theory of Molecular Attractive Forces between Solids［J］.Sov.Phys.JETP，1956，2:73－83.

［3］ Klimchitskaya G L，Mohideen U，Mostepanenko V M. The Casimir Force between Real Materials:Experiment and Theory［J］. Rev.Mod.Phys.，2009，81:1827－1880.

［4］ Alejandro W Rodriguez，Federico Capasso，Steven G Johnson. The Casimir Effect in Microstructured Geometries［J］. Nphoton，2011，5:211－221.

［5］ 郭建刚，赵亚溥.计及Casimir 效应时旋转式NEMS 致动器的动态稳定性研究［J］.传感技术学报，2006，19(5):1645－1648.

［6］ Tomaš M S. Casimir Force in Absorbing Multilayers［J］. Phys.Rev.A.，2002，66:052103.

［7］ Lifshitz E M，Pitaevskii L P.Statistical Physics［M］.Part 2，Pergamon，Oxford，1991，Chapter 8，33－38.

［8］ Buhmann S Y，Welsch D G. Dispersion Force in Macroscopic Quantum Electrodynamics［J］. Progress in Quantum Electronics，2007，31:51－130.

［9］ Yang Y P，Zeng R，Xu J P. Casimir Force between Left－Handed－Material Slabs［J］.Phys.Rev.A.，2008，77:015803.

［10］ Raabe C，Knöll L，Welsch D G. Three－Dimensional Casimir Force between Absorbing Multilayer Dielectrics［J］. Phys. Rev. A.，2003，68:033810.

［11］ 波恩，沃耳夫.光学原理(上、下册)［M］.第七版.北京:电子工业出版社，2005，32－35.

［12］ 胡望雨，舒幼生.光沿单轴晶体主截面入射的菲涅耳公式［J］.大学物理，1986，9:5－8.

［13］ Landau L D，Lifshitz E M，Pitaevskii L P.Electrodynamics of Continuous Media［M］. 2nd，Elsevier，Oxford，2007，Chapter 13，54－58.

［14］ 宋菲君，羊国光，余金中. 信息光子学物理［M］. 北京:北京大学出版社，2006，3－30.