等离子体模型中Poisson方程解的存在唯一性*

耿金波

(浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华 321004)

0 引言

文献［1-4］对Euler-Poisson方程组的模型来源都有详细的介绍．本文考虑一维双极型Euler-Poisson方程组

式(1)中：x∈R3;u(x)∈R3;ρ是粒子密度;u为粒子速度;λ为德拜常数;C(x)为杂质的密度;Φ为电势．

彭跃军在文献［5］中利用Lax-Friedrichs格式和Godunov格式得到了方程组(1)的全局弱熵解的存在性;Natalini在文献［6］中得到了方程组(1)弱熵解的存在性;文献［7］研究了方程组含有松弛时间的双极型等熵Euler-Poisson方程组解的存在性及零松弛时间的极限．

本文运用压缩映像原理得到方程组(1)中的Poisson方程的解的存在性，使Euler-Poisson方程组化为双曲守恒律方程组，其主要结果为：

定理1 方程组(1)中的Poisson方程的边值问题

的解存在并且唯一．

1 引理

为了研究的方便，不妨假设方程组(1)中的λ=1，C(x)=1．

首先考虑下面的边值问题：

令

其中，g∈L1∩BV．可验证T0(g)(x)是问题(3)的解．为了得到本文结论，需要下面几个引理．

引理1 设g∈L1∩BV，则

其中，常数C0与g无关．

证明 由g∈L1∩BV知

所以由控制收敛定理知

显然，

进而得到

由式(4)和式(5)可得引理1的结论．引理1证毕．

下面考虑非线性映射

并记

其中，C0由引理1给出．

引理2 存在 δ0＞0，使得当0 ＜δ＜δ0时，TXδ⊆Xδ．

证明 任取Ψ∈Xδ，由嵌入定理［8］知：存在与Ψ无关的常数C1，满足

于是由引理1知

注意到f(Ψ)－Ψ=O(1)Ψ2，从而 limx→±∞T(Ψ)(x)=0．最后，在式(6)中取 δ充分小，使得 TXδ⊆Xδ．引理2证毕．

引理3 存在 δ0＞0，使得当0 ＜ δ＜ δ0时，T 在(Xδ，‖·‖W1，1)上为压缩映射．

证明 任取 Ψ1，Ψ2∈Xδ，有

应用引理1，可得

于是，在式(8)中取适当的δ，便可得到结论．引理3证毕．

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引理4 存在 δ0＞0，使得当0＜δ＜δ0时，存在唯一的 Φ ∈Xδ，有TΦ=Φ．进一步

证明 显然，由Banach压缩映像原理可以得到Φ的存在性．下面证明式(9)成立．由引理1可知

再次利用引理1得

同理

上述2个估计需要用到如下不等式：

于是在式(11)和式(12)中取适当的δ，使得O(1)δ＜1，得到

引理4证毕．

2 定理1的证明

由引理4知，Φ=TΦ，Φ∈Xδ给出了方程组

在Xδ上的唯一解．定理1证毕．

3 结语

定理1的证明是运用古典的压缩映像原理，对等离子体模型中的椭圆型方程解的存在性和唯一性进行了研究，它为进一步研究等离子体模型方程奠定了理论基础．

［1］李定，陈银华，马锦秀，等．等离子体物理学［M］．北京：高等教育出版社，2006．

［2］王德焴，吴德金，黄光力．空间等离子体中的孤波［M］．上海：上海科技教育出版社，2000．

［3］庄钊文，袁乃昌，刘少斌，等．等离子体隐身技术［M］．北京：科学出版社，2004．

［4］Markowich P A，Ringhofer C A，Schmeiser C．Semiconductor equations［M］．New York：Springer-Verlag，1990．

［5］Peng Yuejun．Convergence of the fractional step Lax-Friedrichs scheme and Godunov scheme for a nonlinear Euler-Poisson system［J］．Nonlinear Analysis，2000，42(6)：1033-1054．

［6］Natalini R．The bipolar hydrodynamic model for semiconductors and the drift-diffusion equations［J］．Journal of Mathematical Analysis and Applications，1996，198(1)：262-281．

［7］Jungel A，Peng Yuejun．Zero-relaxation-time limits in the hydrodynamic equations for plasmas revisited［J］．Zeitschrift Für Angewandte Mathematik und Physik，2000，51(3)：385-396．

［8］Adams R A．索伯列夫空间［M］．叶其孝，译．北京：人民教育出版社，1981．