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拟Lorenz方程在周期扰动下的奇怪吸引子*

2012-12-17陈凤娟

关键词:流形马蹄测度

吴 萃, 陈 艳, 陈凤娟

(浙江师范大学数理与信息工程学院,浙江金华 321004)

0 引言

在周期扰动方程的研究中,由同宿缠结产生的奇怪吸引子是一种复杂的动力学现象,它在混沌理论的研究中占据着重要的地位.过去,人们常用Melnikov方法判断横截同宿点的存在,从而得到Smale马蹄,这样就从理论上证明了系统的混沌性.但是Smale马蹄不能通过数值方法模拟出来,因为马蹄的吸引域为零Lebesgue测度集.1976年,在对Hénon映射的研究中,通过数值方法模拟出混沌吸引子,即Hénon吸引子[1],它是一种SRB测度下的混沌现象[2-5].近年来,文献[6-8]对二维同宿缠结理论作了系统的研究,通过SRB测度建立了混沌理论结果与数值模拟之间的桥梁.

二维周期扰动方程为

式(1)中:0 <β <α;μ 是小参数;f(x,y),g(x,y),P(x,y,t),Q(x,y,t)是(x,y)的高阶项;P(x,y,t),Q(x,y,t)是周期为T的时间周期函数.定义方程(1)的 Melnikov函数[7]为

式(2)中:l(s)表示未扰动方程(即μ=0)的同宿轨;τ⊥l(s)表示同宿轨在s时刻切向量的单位法向量;E(s)表示法向扩张率.若点(0,0)为未扰动方程的耗散鞍点,且存在同宿到该耗散鞍点的一个同宿解,则当 Melnikov函数 M(θ)是 Morse函数时,有以下结论[7]:

1)当参数μ→0时,存在无穷多个互不相交的μ开区间,使得同宿缠结Λμ拓扑共轭于无穷符号的马蹄;

2)当参数μ→0时,存在无穷多个互不相交的μ开区间,使得同宿缠结Λμ是由一个吸引的周期轨和无穷符号的马蹄构成;

3)当参数μ→0时,存在一个μ的正Lebesgue测度集,使得同宿缠结Λμ出现SRB测度意义下的似Hénon吸引子.

当参数μ→0时,上述3类现象在区间[μi+1,μi)上形成一个固定的动力学模式,这个模式呈现一定的周期性,周期为

式(3)中:β是方程(1)的不稳定特征值;T是扰动周期.

若未扰动方程存在2个同宿到耗散鞍点(0,0)的同宿解,则存在3类奇怪吸引子:周期汇、似Hénon吸引子和具有随机性质的秩一吸引子[8-10].这3类奇怪吸引子组成的动力学模式也呈现周期性,周期由式(3)决定.

本文研究一类三维拟Lorenz周期扰动方程.拟Lorenz方程在研究光在液晶介质中的传播具有重要的应用[11],它存在一个耗散鞍点,这个耗散鞍点具有一维不稳定流形和二维稳定流形.首先通过数值模拟找到该方程存在2个同宿解的粘合分支值;然后数值模拟周期扰动方程,得到3类奇怪吸引子:周期汇、似Hénon吸引子和秩一吸引子.本文的结果是二维同宿缠结理论在三维方程中的应用和推广.

1 拟Lorenz周期扰动方程的奇怪吸引子

拟Lorenz方程为

式 (4)中,β,α,δ和ε是参数.方程(4)对研究液晶对光传播的影响具有重要意义,它揭示了液晶特有的物理与光学性质.

首先,点O(0,0,0)是方程(4)的不动点.随着参数的变化,方程(4)出现粘合分支,它是通向混沌的一种新途径[12].由文献[11]知,当 β =1.8,α =1.5,δ=-0.07,ε =0.076 071 时,方程(4)出现第1 次粘合分支,此时方程 (4)存在2个同宿到不动点O(0,0,0)的同宿解,如图1所示.

图1 方程(4)在 β =1.8,α =1.5,δ=-0.07,ε =0.076 071 148 687 时的2 个同宿解

方程(4)的周期扰动方程为

式(5)中,μ 和 ω 是参数.易知,当 β >1,α >0时,O(0,0,0)是方程(4)的耗散鞍点,特征值分别为

2 数值结果

2.1 模拟过程

1)对于方程(4),首先固定参数(β,α,δ)=(1.8,1.5,-0.07).通过4 阶龙格-库塔法和 C++语言模拟过初始点(x0,y0,z0)=(0.01,0,0)的解,得到方程(4)存在2个同宿解的第1次粘合分支值 ε=0.076 071 148 687.由于数值模拟中扰动参数μ的精度达到10-8,因此ε的精度为10-12,如图1所示.

2)固定μ值,让初始时刻t0在区间[0,1)上变化,步长为Δt0=0.001.即对固定的μ值,模拟方程(5)的1 000个解.

2.2 数值结果

令ω=2π,对充分小的μ值有如下结果:

1)秩一吸引子.图2为参数μ=1.211×10-4,t0=0时的秩一吸引子.其中图2(a)是方程(5)的三维相图,图2(b)是三维相图在x-y平面上的投影,图2(c)是变量x的时间序列,图2(d)是x(k)的傅立叶频谱.

2)似Hénon吸引子,如图3所示.似Hénon吸引子是SRB测度意义下的混沌吸引子,它表示周期解附近的混沌动力学.通过数值模拟发现方程(5)存在2类似Hénon吸引子,即双边似Hénon吸引子和单边似Hénon吸引子.图4表示单边似Hénon吸引子.

3)周期汇,如图5所示.周期汇表示方程(5)出现稳定的动力学.由图5(c)可见,此时方程(5)出现吸引的周期轨.图5(b)是图5(a)在x-y平面上的投影.类似于2类似Hénon吸引子,方程(5)同样存在2类周期汇:双边周期汇和单边周期汇(如图6所示).

随着μ的变化,所有的数值结果如表1所示.由ω=2π可知,方程(5)的扰动周期为T=2π/ω=1.因此,μ 的理论周期为 eβT=e1.8≈6.049 6.表1 中“似 Hénon 吸引子(2)”表示双边似 Hénon 吸引子(见图3),而“似Hénon吸引子(1)”表示单边似Hénon吸引子(见图4).同理,“周期汇(2)”表示双边周期汇,“周期汇(1)”表示单边周期汇.

表1 方程(5)关于扰动参数μ的动力学模式周期性

续表1

3 结语

本文研究了一类三维拟Lorenz周期扰动方程.拟Lorenz方程在研究光在液晶介质中的传播具有重要的应用,反映光在传播中的复杂的动力学现象.该方程存在一个耗散鞍点,这个耗散鞍点具有一维不稳定流形和二维稳定流形.首先通过数值模拟找到该方程存在2个同宿解的粘合分支值;然后数值模拟周期扰动方程,得到3类奇怪吸引子:周期汇、似Hénon吸引子和秩一吸引子.本文结果是二维同宿缠结理论在三维方程中的应用和推广.

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[2]Young L S.What are SRB measures,and which dynamical systems have them?[J].J Stat Phys,2002,108(5/6):733-754.

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