一类幂指函数问题的探讨——以幂指函数y=xx为例

邹国辉

(九江学院理学院 江西九江 332005)

幂指函数问题是高等数学教学中的重点，也是难点.由于幂指函数概念在一般教材中不涉及，对幂指函数问题又分散在各章节中，被老师同学忽视，使大多同学对幂指函数的概念模糊不清，又不善于总结归纳，因此较多同学在碰到此类问题时往往无从下手，常把它们误认为幂函数或指数函数问题处理.

1 幂指函数的概念及理解[1]

参照基本初等函数的概念尤其幂函数或指数函数的概念，笔者把形如y=u(x)v(x)(u(x)≠0,u(x)≠1)的函数称为幂指函数(如图1).在教学

图1 幂指函数y=xx的图象

中，教师应引导学生理解，特别强调幂底和指数均为变量即为幂指的函数，与幂函数及指数函数均有区别——幂函数是底为变量，指数为常量；指数函数是指数为变量，底为常量.因此,幂指函数既不是幂函数也不是指数函数.

2 幂指函数的极限、导数及特殊积分问题

在考研数学及各类重要考试中常出现幂指函数问题，在高等数学中主要就是幂指函数的极限、导数及特殊积分问题.为便于总结比较，下面讨论的幂指函数的极限、导数及特殊积分问题中，均以幂指函数y=xx为例.

2.1幂指函数的极限问题

2.2幂指函数的导数问题[2]

对于幂指函数的导数问题，笔者通过恒等变形把它化为初等形式，也可以用两边取对数通过隐函数求导进行运算，以y=xx为例.

y′=(xx)′=(ex ln x)′=ex ln x(xlnx)′=xx(1+lnx)

(1)

先对等式y=xx两边取对数：lny=lnxx=xlnx

(2)

(3)

整理就得：y′=y(1+lnx)=xx(1+lnx).

(4)

另外，幂指函数既不是幂函数也不是指数函数，但另一方面又可说幂指函数是由幂函数和指数函数叠加而成的. 按照复合函数的理解，那么：对于幂指函数，当把底看作常数时，按照指数函数来求导，同时当把指数当作常数时按幂函数来进行运算，也就是把幂指函数按复合函数的叠加来运算，经尝试是成立的.即：

y′=(xx)′=xxx-1+xxlnx=xx(1+lnx)

(5)

2.3 幂指函数的特殊积分问题[3]

此例就可考虑用换元法. 令t=xx，则有lnt=xlnx

(6)

(7)

3 结束语

从上述幂指函数的极限、导数及特殊积分问题求解中可以归纳得出，幂指函数是初等函数，因为任何幂指函数都可化为初等形式，比如y=xx=ex ln x，符合初等函数的概念,而对幂指函数的问题通常都是通过换元或化为初等形式变为大家熟知函数进行运算处理，这也是数学处理问题的一般方法.对于一般幂指函数的问题都可采用上述方法灵活解决.

参考文献：

[1]同济大学数学系编．高等数学[M]．北京：高等教育出版社，2007.127.

[2]马军等．微积分[M]．上海：同济大学出版社，2010.116.

[3]华东师范大学数学系编．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，2001．3．