滑动矩形窗式的QC-LDPC码设计

汪汉新，苏开友

(中南民族大学电子信息工程学院，武汉430074)

QC(Quasi Cyclic)LDPC 码［1］是一类结构化的LDPC码，其校验矩阵H由基校验矩阵Hb中的元素经方块子矩阵扩展后得到，易于高效编译码，适合硬件实现，因此QC-LDPC码成为当前通信领域研究热点之一.

在构造LDPC码H矩阵时，需要考虑一个很重要的约束条件就是避免4环的存在.环是指与H矩阵对应的Tanner图中，形成闭合回路的边数，其中最小环称为围长［2］，其大小与Hb矩阵中的元素值有关［1］.通过修改元素值可实现较大围长［3，4］和改进围长为6的H矩阵［5-8］，进而提高QC-LDPC码的误码性能.例如zhang等人提出的BIBD的构造方法［3］，能构造出围长为10的H矩阵;Kim等人通过设计母矩阵能将H矩阵的围长提高到14或18［4］.虽然H矩阵围长的提高，有利于译码的同时能获得较好性能，但符合要求的码的数量很少，而且随着围长的增大，其码长也要达到一定长度，因此无法满足码长连续的要求，限制了该码的实际应用.优化无4环是指在H矩阵的围长为6的情况下，对非规则QC-LDPC码的循环移位次数和度分布进行优化，提高误码性能.其中最为典型的是围长为6的IEEE802.16e［5］标准中 LDPC 码的设计;另外还有最大化 ACE［6，7］和最小误码率准则［8］等优化方法，但是算法复杂度较高，且无法连续对一系列不同码长进行优化.除此之外，基于等差数列也能快速构造出无4环的H矩阵［9］，但未经优化处理时，其误码性能较差，且当Hb矩阵较大时，置换矩阵的长度也要求很长，码长的范围受到不同程度的限制.

以上改进方法中，由于增大围长要求较高，且多倾向于规则LDPC码的构造;而802.16e标准LDPC码的码率范围和码的数量有限，不适合自适应传输系统中码长码率灵活变化的要求.因此，本文提出一种基于代数理论的滑动矩形窗式构造QC-LDPC码的方法，并采用去对角线法来优化H矩阵的度分布.与802.16e标准 LDPC码相比，本方法构造的QC-LDPC码具有较好的优越性.

1 滑动矩形窗式LDPC码的构造方法

1.1 矩阵的构造

全矩阵Hs的结构如式(1).

其中，Sij(1≤i≤N，1≤j≤N)表示矩阵中第 i行第j列置换矩阵的循环移位次数，该值不小于－1，正整数表示循环右移，0表示单位矩阵，－1表示零矩阵;扩展因子z表示置换矩阵的维数，则Hs扩展后的矩阵大小为Nz×Nz.

由文献［9］知，若循环移位次数Sij满足式(2)，且z满足一定值时，则构造出的矩阵无4环.

和文献［9］相比，本文的Hs矩阵元素的计算公式，满足要求的z值更小.例如构造4×4的矩阵，矩阵A的z值应不小于22，而矩阵B的z值应不小于12，两种方法构造的Hs矩阵如图1所示.

图1 两种方法的比较Fig.1 Compare of two methods

本文的QC-LDPC码的结构采用和802.16e标准LDPC码相同的准双对角线结构，其基校验矩阵Hb结构如式(5)～(7).

其中，Hb1和Hb2分别为Hb矩阵中的数据部分和校验部分;Hb2是一个结构固定的矩阵，矩阵中的0和－1分别表示单位矩阵和全零矩阵;b(1)=b(m)=bm(bm为小于z的素数);b(r)=0.Hb1矩阵是Hs矩阵中的某一小部分，可由滑动形窗式构造法求得.

根据式(2)，在Hs矩阵中一个任意大小的矩阵可由式(8)求出.对应的z值应满足式(9).

其中，1≤i≤m;hf为矩阵的第一个第一列元素的值;ct为第一行公差;rt为第一列公差;m和k分别为Hb1矩阵的行和列的值.

在自适应传输系统中，当码率发生改变时，由于码率R=k/(k+m)，因此只需改变其中m和k的值即可.例如当m=k=6时，码率R=1/2，最小码长可达6×62=372，步长为12;若R变为1/3，则在m不变的情况下，只需将k值变为3，在Hb1矩阵中相当于删除其中3列，相应的最小码长为9×16=144，步长变为9;或者将m和k的值变为4和2，则相当于删除其中2行和4列，最小码长变为6×7=42，步长为6.在码率变换方面可以看出，在码率变换方面非常灵活，无需重新构造，只需删除一定的行和列即可，而码长也可以在步长较小的情况下连续变化.同时通过修改hf、ct和rt的值，能构造出不同z值和Tanner图结构的Hb1矩阵，其最终达到的效果也不尽相同，这三个值的选取可在误码率和迭代次数之间权衡.例如，构造一个6×6的矩阵，其中hf=1、ct=0、rt=1，由此得到的矩阵如图2中实线矩形窗覆盖的矩阵.而当 hf、ct、rt的值变为 3、1、2 时，得到的矩阵如图2中虚线矩形窗.数值的变化在图2中就相当于实线矩形窗向左和向下各移一位到虚线矩形窗的位置.

图2 全矩阵及滑动矩形窗Fig.2 Global matrix and slide rectangular window

因此，本文提出一种在结构、码长和码率可灵活变化的QC-LDPC码的构造方法——滑动矩形窗式构造法.首先，设计一个矩形窗的大小m×k，再放入全矩阵中进行平行移动，其覆盖的元素作为Hb矩阵中的Hb1部分，而Hb2部分则是m×m的矩阵.之所以称为滑动矩形窗式构造法，是因为由式(8)计算得到的矩阵就如同矩形窗在全矩阵中平行移动得到的矩阵.如图2中实线框和虚线框所示.该构造方法和文献［9，10］相比，构造的Hb1矩阵，其z值要求更小，扩大了构造校验矩阵H的码长范围.

1.2 Hb1矩阵的去对角线改进法

若直接采用覆盖的矩阵，则构造出的QC-LDPC码中的行和列的度数一样，这相当于规则LDPC码，而规则LDPC码的误码性能会随着构造矩阵的增大而提升缓慢［11］.因此本文通过去对角线改进法，将行列度数相同的矩阵修改成具有不同度数的矩阵，能进一步提高校验矩阵的误码性能.

去对角线法是指将Hb1矩阵中的元素沿着对角线用－1代替，即将这些位置的置换矩阵用零矩阵代替，实现度数的修改.例如将图2实线框中矩阵修改如式(10)所示结构，经过和Hb2矩阵合并得到如式(11)所示的Hb矩阵，仿真结果表明，通过该方法改进后能提高QC-LDPC码的误码性能.

通过滑动矩形窗式构造的Hb矩阵以及简易的对角线改进法，在保证性能的同时，码长和码率能灵活变化.另外，由于H矩阵采用准双对角线结构，编码算法具有线性复杂度，因此非常适合自适应传输系统下的硬件实现.

2 仿真结果分析

实验条件是在AWGN信道下，采用快速迭代编码算法，BPSK调制，LLR BP译码算法，迭代次数20次.对本文构造的QC-LDPC码进行了蒙托卡诺仿真，同时也和IEEE802.16e标准LDPC码进行了比较.例如，当m=6时，构造的H矩阵部分参数如表1所示.

表1 矩形窗式构造法码长码率灵活变化的H矩阵参数Tab.1 parameters of H with with agilely variable lengths and rates by using slide rectangular window

表1给出了在m值确定的情况下，k值的不同，则码率不同，且码长也按照不同的步长连续变化.当k≤10时，码率范围从1/7到5/8.码长最小值从42到816，因此可以满足自适应传输系统的需求.

图3是在相同码率的情况下，不同维度的基校验矩阵在改进前后的性能对比.从中可以看出在度数不大于6时，改进前后误码性能差别不大，但当度数大于6时，改进后的性能优势明显.这证明了对角线改进法能提高误码性能.

在802.16e标准LDPC码中每种码率共有19种码长，由于码长和码率较多，因此选择部分码长码率进行比较.取其中576、960、1440和2304四种码长进行对比.仿真结果如图4所示.

从图4中可以看出，本文构造的QC-LDPC码和IEEE802.16e标准LDPC码相比，在误码性能上都略有损失，但差别在一个数量级以内.在信噪比(dB)为2时，本文构造的码在码长为2304时，BER能达到10－5数量级，能够满足实际系统的需求.

表2中，802.16e标准的 LDPC码的在码率为1/2时，码长从576到2304，且以96为步长共19种.文献［12］的码率从1/4到3/4共10种，步长从4到9共6中步长.本文构造LDPC码，其码率没有限制，最小码长为42，步长最小为4.

图3 改进前后的误码性能比较Fig.3 BER performance before and after improvement

表2 3种H矩阵的参数对比Tab.2 The parameters of different parity-check matrix H

图4 本文QC-LDPC码和802.16e标准LDPC码的性能比较Fig.4 The BER performance for different QC-LDPC

从表2的对比中可以看出，本文构造的QCLDPC码在误码性能略有损失的情况下，具有以下几个优点:码率更加灵活可变;码长的最小值可达42;步长更加宽泛;结构化设计以及改进算法的简易性.

3 结语

基于矩形窗式构造的QC-LDPC码以及去对角线改进法，相比其他构造和改进算法，本文算法设计简单且易于理解，同时该方法在误码性能损失不多的情况下，可实现码率、码长的灵活变化，提高了可用QC-LDPC码的范围，更适合于自适应传输系统.另外，校验矩阵采用准双对角线结构，其编码算法具有线性复杂度，便于自适应传输系统下的硬件实现.同时，去对角线方法还能有一定的研究优化空间，这也是下一步的工作.

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