一个共圆点定理的多方位推广

● (赣南师范学院 江西赣州 341000)

一个共圆点定理的多方位推广

●熊曾润(赣南师范学院 江西赣州 341000)

梁绍鸿先生在文献[1]中介绍了一个优美的共圆点定理,即

(三角形的九点圆,有人称它为欧拉圆,也有人称它为费尔巴哈圆[2].)

本文拟应用向量方法,将定理1多方位地类比推广到一般圆内接多边形中,导出一个更具普遍性的新结论.为此,先建立如下概念:

定义设n边形A1A2…An(n≥3)内接于⊙(O，R)，对任意给定的正整数k.

按定义(1)可知,圆内接n边形的1号心、2号心和n号心，就是它的垂心[3]、欧拉圆心[4]和重心[5].因此，圆内接n边形的k号心概念，是它的垂心、欧拉圆心和重心诸概念的统一推广.

根据以上定义，可以推得定理2.

由此可得

又依题设，点N和点M分别是n边形A1A2…An的k+1号心和k号心，按定义(1)有

将式(2)代入式(1)，可得

即

容易验证，在定理2中令n=3,k=2，就得到定理1.因此，定理2是定理1的推广.

值得指出的是：定理2的内涵是极其丰富的，考察它的各种特例，将会得到许多有趣的命题.例如，在定理2中令n=4,k=1,2,3,4,可得

命题1设四边形A1A2A3A4内接于⊙(O，R)，E是它的欧拉圆心(即2号心)，P是⊙(O，R)上的任一点，连PE并延长至Q，使EQ=PE，则Q点必在四边形的1号圆上(圆心是这四边形的垂心H，半径为R).

这些关于圆内接四边形的共圆点命题，是耐人寻味且鲜为人知的.诸如此类的命题不胜枚举，这里就不赘述了.

[1]梁绍鸿.初等数学复习及研究(平面几何)[M].北京:人民教出版社,1958:190.

[2]约翰逊.近代欧氏几何学[M].单墫,译.上海:上海教育出版社,1999:170-171.

[3]熊曾润.圆内接闭折线的垂心及其性质[J].中学教学,2000(3):43-44.

[4]熊曾润.圆内接闭折线的欧拉圆及其性质[J].中学教研(数学),1999(11):32-33.

[5]熊曾润.闭折线的顶点系重心的性质[J].中学教研(数学),1998(1/2):45-46.

[6]熊曾润.普鲁海圆的美妙性质[J].中学数学教学,2010(1):63-64.