让椭圆的美在学生心中放飞——“椭圆及其标准方程”课例及点评

● (昌硕高级中学 浙江安吉 313300) ● (东阳中学 浙江东阳 322100)

让椭圆的美在学生心中放飞——“椭圆及其标准方程”课例及点评

●黄超(昌硕高级中学 浙江安吉 313300) ●吴国建(东阳中学 浙江东阳 322100)

在2011年安吉县数学教师课例研究培训活动中，笔者上了一节研讨课，课题为人教版《数学》选修2-1第2章“椭圆及其标准方程”第一课时，现将课例呈现给同行，供研讨，并请批评指正．

教学过程

师：同学们，很高兴能和大家一起度过这45分钟．今天，大家将和我一起步入解析几何的殿堂，去一睹圆锥曲线的风采．请大家看幻灯片上展示的图形，回答：

(1)斜射光下的球的影子的边界呈现什么形状？

(2)倾斜的玻璃杯中水面的边界呈现什么形状？

(3)圆锥被如图1所示的平面截得的图形边界呈现什么形状？

图1

生(众)：椭圆．

师：那么，平面截圆锥所得的截口曲线有哪些？

生1：圆、椭圆．

师：除了圆和椭圆，还可以得到抛物线和双曲线．

图2

(Flash演示用圆锥截得圆锥曲线并呈现图2.)

师：圆、椭圆、双曲线和抛物线这“4个兄弟”一起构成了圆锥曲线“大家庭”，这也是“圆锥曲线”名称的由来．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的传世之作《圆锥曲线论》中用截线的定义通过几何方法创立了相当完美的圆锥曲线理论，但晦涩难懂．前段时间学习了笛卡尔创立的坐标法，能否将椭圆的问题也用坐标法解决呢？答案是肯定的，但还需要找到能将椭圆问题转化为代数问题的一些性质．丹德林为我们准备了2个球并得到了椭圆的一个漂亮性质．请看丹德林双球．

(Flash演示丹德林双球.)

图3

师：如图3，在圆锥内放2个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切．2个球分别与截面切于点E，F，在椭圆上任取一点A，过点A作圆锥的母线，分别与2个球相切于点B，C，你能发现哪些等量关系？

生2(稍作思考，略显迟疑)：AE=AC，AF=AB？

师：很好！能够一眼看出这其中隐藏的等量关系，不容易啊！你还能在图3中发现哪些变量和不变量吗？

生2(充满信心地)：虽然点A在动，但BC是定长，即AE+AF=AB+AC=BC是定长，也即AE和AF在变，但它们的和不变．

师：非常好！课后同学们可以阅读课本第43页“探究与发现：为什么截口曲线是椭圆”的相关内容．现在我们来做2个实验：(1)将一条长度为定值的细绳的2个端点固定在木板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，观察画出的轨迹是什么图形？(2)将一条长度为定值的细绳的2个端固定在木板的2个点处(这2个点间的距离小于细绳的长度)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，观察画出的轨迹是什么图形？

(课前将细线发给学生，2个人一组合作画图.幻灯片演示,教师请2位学生上黑板画图．)

生：圆和椭圆．

师：请给椭圆下一个定义．

生3：椭圆是一个封闭的图形．

师：不错，归纳得很合理．但封闭的图形有很多，椭圆具有怎样的特性呢？还有没有要补充的？

生4：椭圆是到2个定点的距离之和等于定长的点的轨迹．

师：很好！生4概括了椭圆的性质，可以用它做为椭圆的定义．这个定义是否准确？在画图过程中，对绳长和定点有没有要求？

生5：绳长要大于2个定点间的距离．

师：用数学语言如何表达？

生5：到2个定点的距离之和大于2个定点间的距离．

师：椭圆是一条平面曲线，因此在定义中应加上“平面内”的限制，这样便得到了椭圆的定义：平面内与2个定点F1，F2距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆；这2个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，2个焦点间的距离叫做焦距．

(教师讲述的同时进行板书和出示幻灯片.)

师：若常数等于|F1F2|，则点的轨迹是什么？小于|F1F2|呢？

生6：若常数等于|F1F2|，则点的轨迹是线段F1F2；若常数小于|F1F2|，则点不存在．

师：非常好．看下面2个问题，请从几何意义的角度考虑．

生7：方程(1)表示椭圆；方程(2)表示线段．

师：为什么？

生7：方程(1)表示到2个定点F1(-3，0)，F2(3，0)的距离之和为常数10(>|F1F2|=6)的点的轨迹，是椭圆；方程(2)对应的常数为6(=|F1F2|)，是线段．

师：准确地把握了椭圆的定义，很好．方程(1)可以看成椭圆的方程，它直观地反映了椭圆的定义，但它看上去不简洁，而解析几何的主要研究方法是坐标法，方程是其核心，因此接下去的工作是寻求椭圆方程的最简表达形式．如何求曲线的方程，一般步骤是什么？

生8：建系设点→几何条件→代数化→化简→检验．

(按照一般步骤，由学生讲思路，教师写过程，化简的过程由教师板演，此处略去求椭圆标准方程的化简过程．特别提示学生可以从不同的角度建立坐标系，并推导出不同的方程进行相互比较.)

图4

图5

生9：|OF1|=|OF2|=c，但a没找到．

师：请思考椭圆的定义．

师：为什么？

生11：在方程推导的过程中，x，y互换了位置．

师：能够从方程推导的过程中发现这一点，观察能力很强，也把握住了问题的本质，很好！

师：有了椭圆的定义和标准方程，就可以运用坐标法来解决椭圆的相关问题．我们先从基础做起，来看一些简单的问题．

师：这么快!怎么得到的？

生12：该方程表示的是到2个定点F1(-3，0)，F2(3，0)的距离之和为常数10的点的轨迹，是椭圆，且a=5，c=3，故b=4，得到标准方程．

师：好！继续来解下面的问题．

题组1

1．判定下列椭圆的焦点在哪个坐标轴上，指明a2,b2,c2的值，并写出焦点的坐标．

2．椭圆的2个焦点的坐标分别是(-4，0)，(4，0)，椭圆上一点P到2个焦点的距离之和等于10，求椭圆的标准方程．

(第1题教师请3位学生口答，很流利．)

师：如何根据椭圆的标准方程判定焦点的位置？

生16：焦点在分母大的坐标轴上．

师：总结得很好．请解决第2题，并简要陈述你的思路．

师：利用椭圆的定义，可以求出标准方程需要的量，并通过焦点的位置确定标准方程的形式，思路很自然．请解决第3题，并简要陈述你的思路．

师：在解题中紧扣定义是一种不错的解题思路，希望同学们牢牢掌握椭圆的定义和标准方程的形式．

题组2

(请3位学生上黑板板演.)

生19(板演第1题)：利用待定系数法解决．

生20(板演第2题)：按焦点位置分类利用待定系数法解决．

生21(板演第3题)：按焦点位置分类利用待定系数法解决．

生20：我不明白为什么前2道题目算出来的结果是一样的？

生22：如果不管a，b的大小关系，并把a2，b2看成一个整体，那就是一个二元一次方程组，解只有一个．

师：在椭圆的标准方程中，a和b是有大小关系的．

师：大家归纳得很到位．在用待定系数法解决此类问题时，如果焦点未知，那么就可以将椭圆的标准方程设成简单的形式，从而简化计算．问题是px2+qy2=1是不是表示椭圆的方程，系数有怎样的要求？这个问题请同学们课后思考．请同学们回忆一下，今天这堂课我们学习了什么内容，用到哪些方法？有什么收获？

生24：学习了椭圆的定义和标准方程；用到了待定系数法；收获说不上来，感觉椭圆有点意思，有些东西还要再看看．

师：老师也想了几句话，请同学们看看，提点修改意见．

一动二定求和常：截线，F1和F2，|MF1|+|MF2|=2a；

三个字母勾股弦：a2-c2=b2；

四个想法留心间：求美，求简，定义，待定系数法．

(教师布置作业，下课.)

点评此教学设计是在HPM视角下,以发生教学原理为理论依据：以实例引入，唤起学生对椭圆的感性认识；以椭圆的发现，即圆锥的截口曲线为切入点，通过丹德林双球导出椭圆的焦半径性质，过渡自然；以性质为出发点，通过机械作图的方法，与圆类比得到椭圆的定义；以曲线方程的求法为依托，通过坐标法建立并化简得到椭圆的标准方程．整个过程是在椭圆的历史演变上进行了一定意义的重构，契合学生的学习需求并具趣味性．

从教学目标看，本节课首先要讲清楚椭圆的定义、标准方程及其求法；其次要通过本节课的学习，引导学生欣赏圆锥曲线、感悟数学美、领略数学文化的魅力．毫无疑问，这才是起始课承担的更高任务．张奠宙先生曾经说过，数学文化一定要体现在课堂中．文化育人也应当是数学教学的终极追求．整个课堂，教师通过环环相扣、层层推进的组织引导学生5次认识并欣赏椭圆的美．

课堂是遗憾的艺术．从更高的要求来看，本节课还有一些值得商榷之处，如丹德林双球问题，虽然是很好的数学文化素材，但学生理解起来还是有一定困难，如何更直观地展现值得教师思考.椭圆标准方程的推导能否设计成探究性学习环节，从“怎样”推导到“为什么”这样推导——让学生有更多、更好的展示和交流机会．

[1]汪晓勤，王苗，邹佳晨．HPM视角下的数学教学设计:以椭圆为例[J]．数学教育学报，2011(5)：20-23．

[2]殷玉波．欣赏椭圆[J]．中学数学教学参考:高中版，2011(1/2)：8-10.

[3]原晓萍，傅海伦．从视觉思维看数学教学设计——以人教A版选修“椭圆及其标准方程”为例[J]．中学数学教学参考:高中版，2011(8)：24-26．