也谈直角三角形内有关内切圆半径的有趣结论

● (沙坡头区宣和镇洪学校 夏中卫 755006)

也谈直角三角形内有关内切圆半径的有趣结论

●张宁(沙坡头区宣和镇张洪学校 宁夏中卫 755006)

文献[1]给出了直角三角形内有关内切圆半径的几个有趣结论，本文再给出几个有趣结论．

图1

定理在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高．⊙I,⊙I1,⊙I2分别为△ABC,△ACD,△BCD的内切圆，其半径分别为r,r1,r2.在△II1I2中，设I1I2=d，I2I=d1，I1I=d2，设△II1I2的外接圆半径为R△II1I2，则

(1)

(2)

(3)R△II1I2=r；

(3)

(4)

(5)

(6)

在Rt△I1DI2中，

设⊙I,⊙I1分别切AC于点E,F，联结IE,I1F,过点I1作I1G⊥IE，垂足为G，则在Rt△IGI1中，

同理可得

2r2+2r2(2-cosA-cosB)=

式(2)得证.

在△II1I2中，易知

由正弦定理可知

因此

式(3)得证．

式(4)得证.

由(a-b)2≥0，知

a2+b2≥2ab，

从而

(a2+b2)+(a2+b2)≥2ab+(a2+b2)，

即

2(a2+b2)≥(a+b)2，

因此

在Rt△ABC中，a2+b2=c2，从而

即

从而

S△ABC=r2+2Rr.

又

即

式(6)得证.

[1] 蔡祖才.直角三角形内有关内切圆半径的有趣结论[J].数学通讯：下半月，2010(5)：40.

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