“准创造”教学法实践与探索——以人教A版“直线的倾斜角与斜率”教学为例

● (台州市教育局教研室 浙江台州 318000)

“准创造”教学法实践与探索
——以人教A版“直线的倾斜角与斜率”教学为例

●李昌官(台州市教育局教研室 浙江台州 318000)

1 “准创造”教学法的涵义

所谓“准创造”教学法是指学生在教师创造策略与探究方法的指导下，通过自主独立思考或小组合作讨论，以再发现、再创造的方式自主构建数学知识，进而培养学生创造意识与创造能力的教学法.

“准创造”教学法的目的是通过学生自主探究与发现结论、自我建构数学知识来提高学生的数学学习能力、思维能力、探究能力、创造能力，发展和完善学生的个性品质尤其是创新意识.

“准创造”教学法的实质是变教为导、变学为研，使学生的学习成为教师指导下的“准发现、准创造”的过程.

“准创造”教学法不仅意味着教育教学理念与方式的变化，更意味着学生学习状态、学习策略、学习方式的变化.它不仅为学生有效学习、学会思考、学会研究问题的思路与方法提供帮助，更为学生的主动发展和可持续发展奠定了坚实的基础.

2 “准创造”教学法的依据

2.1 实施“准创造”教学法是完全必要的

数学知识的发现、创造过程最富有教育价值，它往往蕴含着心理与思维的突破、策略与方法的运用、对问题和知识本质的把握.通过“准创造”获得的数学知识远比通过教师讲授获得的知识更利于保存，更利于运用，更利于发展创造能力和创新意识.

2.2 实施“准创造”教学法是完全可行的

陶行知早在1943年就指出：“处处是创造之地，天天是创造之时，人人是创造之人.”建构主义认为，知识并不能简单地由教师或其他人传授给学生，而只能由每个学生依据自身已有的知识和经验加以建构.教育教学实践告诉我们:学生蕴藏着极大的创造潜能.

英国物理学家、数学家开尔文曾指出：“别把数学想象得艰难晦涩，不可捉摸，它只不过是常识的升华而已.”数学实质上是把人们的常识数学化、系统化,因此,数学知识的形成方式也表明实施“准创造”教学法是完全可能和可行的.

2.3 实施“准创造”教学法是必然的

正如只能在游泳中学会游泳一样，创造能力只能在创造实践中得到发展.弗赖登塔尔认为：学习数学的唯一途径是实行“再创造”；再创造应贯穿于数学教学的全过程.同时学生学习的特殊性也决定了学生的“再创造”只能是教师外在力量与学生内在力量共同起作用的创造，是淡化教的痕迹的创造，是一种“准创造、亚创造”.

3 “准创造”教学法的实施原则

3.1 数学现实原则

弗赖登塔尔指出：“每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、运算方法、规律和有关知识结构.”也就是说，每个人都有自己的“数学现实”.数学教学应基于学生的数学现实，把“准创造”控制在学生能力可达到的范围内，并不断丰富和优化学生的数学现实.

如在学习解析几何之前，学生既有用身高、体重、速度、体积、压强、概率等把客观事物数量化的经验，也有实数与数轴上的点一一对应、坐标平面上的点与有序数对(x,y)一一对应等相关知识，更有借助图像研究函数性质的经验，这些都是与学习解析几何直接相关的数学现实.教学时要从这些“数学现实”出发，引导学生把思维的着力点放在如何对图形进行数量化处理上来.

3.2 本质结构原则

数学知识是按一定的结构组织而成的，具有鲜明的结构性.正如建筑有主体建筑与附属建筑之分，数学知识也有主体知识与附属知识、核心知识与非核心知识之分.数学教学应遵循知识建构的基本套路，把握知识的核心与本质，促进学生习得层次更高、价值更大的知识.

“直线的倾斜角与斜率”是解析几何的起始课.无论是介绍解析几何的起源与基本思想方法，还是如何用直线上点的坐标来刻画直线的倾斜程度，都应突出解析几何的基本思想，并在其基本思想方法的指引下进行相关的探究.另外，对于倾斜角、斜率这2个概念的建构，要关注数学概念的建构思路与方法，关注概念的科学性、合理性与最优性.

3.3 情意驱动原则

脑科学告诉我们，人的思维总是伴随着情感的发展变化而同步进行的；需要、兴趣、好奇心、求知欲、意志力、毅力、数学信念等对数学学习有着直接的影响.数学教学应以问题为载体，以探究为手段，以知识的应用价值为驱动力，有意识、多方面、多层次地培育学生学习数学的心理需求，进而为数学思维的培养和问题的解决提供强大动力和心理保障.

本节课笔者面向的学生是陌生的，课前拉近师生的情感距离是教学的重要环节.更重要的是，作为解析几何的起始课，要让学生通过具体情境感受学习解析几何的意义与价值，感受解析几何既好玩又有用、有趣.如对神舟八号飞船运行轨迹的准确预测、对月全食时间的准确计算、建筑中对几何图形的准确计算等都离不开解析几何.

3.4 注重过程原则

知识有一个萌芽生长、开花结果的过程，教师可为学生提供所需要的水、阳光、空气和养料，可以做助产士，但绝不能拔苗助长，不到万不得已不实施“剖腹产”.因为知识在形成与创造的过程中，其教育价值远比机械地做几个题目要大得多；注重知识形成与创造的过程是引导和帮助学生学会学习、学会创造的根本途径，是促进学生热爱数学、享受学习的根本途径；而把“成熟的、成年的”知识硬塞给学生会造成学生消化不良.

注重过程原则要求在教学中，一要揭示知识产生的基础与萌芽，如实数与数轴上的点一一对应、坐标平面上的点与有序数对(x,y)一一对应是解析几何思想的基础与萌芽，2条相交直线所成的角、借助参照物确定物体的位置是倾斜角概念的基础与萌芽，“坡度”是斜率的基础与萌芽；二是强化知识的形成过程，如通过在平面直角坐标系中考察斜坡的“坡度”，通过不断追问规定的科学性、合理性与最优性，从而揭示斜率概念的形成过程.

3.5 指导策略原则

知识的生长与动、植物的生长一样，同样需要一定的环境、条件与温度.由于学生已经习惯于教师传授、讲解知识，对自主建构知识往往会觉得困难，因此教师要为学生搭建探究的“脚手架”、提供策略与方法的指导，这是学生有效探究、自主建构知识的必要条件.

3.6 自主建构原则

学习是新、旧知识经验相互作用的过程；高层次的学习应是学习者在与教师和同伴的互动过程中自主发现、建构知识的过程.在这个过程中，教师是助产士，是建构策略的指导者与“脚手架”的搭建者，而学生是知识的建构者和生产者.

在本节课中，教师不断提醒学生注意数学概念的科学性、合理性和最优性，让学生在原来的认知基础上，在与其他学生的讨论与交流中逐步建构和完善倾斜角与斜率的概念.

3.7 功能互补原则

每种教学法都有自己的优点与不足，“准创造”教学法并不排斥其他的教学法，相反它十分注重与其他教学法的互补.事实上，让学生自己去发现、创造所要学的每一个数学知识既没有必要，也没有可能.数学教学需要做的是切切实实地让学生自己发现、创造一些他们自己能够发现、创造的知识，切切实实地减少教学中灌输的成份，增加学生自主发现、自主创造的成份.数学教学应是努力开发学生的创造潜能，而不是抑制学生创造潜能的发挥.

在本节课中，解析几何的意义与价值、基本思想方法的学习以教师的讲解、启发、引导为主；倾斜角、斜率的概念则以教师点拨指导、学生自主建构为主.两者都是“授受中有发现、发现中有授受”，只不过前者学生授受的成份多些，而后者学生“再创造”的成份多些而已.

4 “准创造”教学法案例——以人教A版“直线的倾斜角与斜率”教学为例

背景说明：本节课是笔者离开课堂10年后再次走上讲台，所教的班级是高一创新班，上高二的内容.考虑到学生先自学就很难再有真实的“准创造”，因此课前没有发自学教材，上课时有意不印发相应的教材，以避免学生在探究遇到困难时有意无意地“偷看”书本上的结论.以下是教学过程概况.

4.1 解析几何的学科意义与基本思想方法

教师播放神舟八号飞行视频，并提问：科学家是如何预测飞船的飞行轨迹的？

教师显示月全食图片，并提问：天文学家为何能准确地预测月全食的时间？他们为何有如此神奇的本领？

师：监测飞船或预测月全食时间的实质是对飞船或天体的运行轨迹进行代数化处理，再借助计算机对运行轨迹进行精确计算.数学是真正的幕后英雄！

设计意图通过真实的、学生感兴趣的情境与事例，让学生真切地感受到解析几何的意义与价值，激发学生探究的兴趣与欲望.

问题1如何对几何图形(多媒体显示图1)进行数量化、代数化处理？(稍作停顿)以前我们有过相关的经验和经历吗？

图1

操作说明师生共同回顾、揭示：实数与数轴上的点一一对应；坐标平面内的点与有序数对(x,y)一一对应；一次函数的图像是一条直线，反过来，平面直角坐标系中的一条直线可以用解析式y=kx+b表示(如图2).

图2

若学生能联想到曾用身高、体重、速度、概率等把客观事物数量化，则应予肯定和鼓励.

问题2你能类比平面上的点与有序数对(x,y)一一对应吗？进一步说明直线与其解析式y=kx+b内在的对应关系？

操作说明受平面上的点与有序数对(x,y)一一对应的启发，把直线看作是点的集合，此时直线上点的坐标都满足相应的解析式，而坐标满足相应解析式的点都在此直线上.这样，直线(即一次函数图像)上的点与方程(即一次函数解析式)的解的关系是“你就是我，我就是你”，是一种一一对应关系.

在此基础上，教师进一步指出：解析几何的基本思想方法就是以坐标系为桥梁，借助点与点的坐标之间的一一对应关系，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算来研究几何图形的性质，即：

解析几何的创立是数学发展史上的里程碑.它的创始人是法国数学家笛卡儿、费马，我们应铭记他们的历史功绩.

设计意图从学生的“数学现实”出发，让学生初步体会和理解解析几何思想方法的萌芽与发展.

4.2 直线的倾斜角

师：下面从如何对最简单的几何图形——直线进行数量化、代数化处理开始探究.

图3

问题3如图3，过同一点的直线有哪些不同点？

问题4怎样在平面直角坐标系中刻画直线的方向呢？(让学生作适当的讨论)能否用一个适当的角来刻画？如果能，这个角是怎样的角？

操作说明(1)教师搭建“脚手架”：①能否类比2条相交直线的夹角来刻画直线的方向？②刻画物体的位置常借助一定的参照物，从中你能得到一些启示吗？③让学生4人一组进行讨论；④你给出的解决方案科学吗？合理吗？

(2)教师视学生的探究情况，追问：①在x轴正方向、y轴正方向、x轴负方向中，选择哪一个作为参照方向比较合理？②如果图3中的直线l,l′与x轴所成的角均为α，那么它们的方向是否相同？③平移后可重合的直线是否应视为方向或倾斜程度相同？④你所得到的结论完整吗？有没有漏掉的情况？

设计意图教师通过指导和追问，帮助学生明确问题及其解决思路，使探究的问题处于学生的“最近发展区”内，同时帮助学生学会如何建构数学概念.

问题5如果用这样的角来刻画直线的倾斜程度，那么：

(1)是否每一条直线都有唯一确定的这样角？

(2)倾斜程度相同的直线，这样的角一定相等吗？倾斜程度不同的直线，这样的角一定不相等吗？

设计意图让学生明确，只有科学、合理的规定才能真正成为数学概念.

问题6你能用一个准确、完整的数学概念来刻画直线的倾斜程度吗？

操作说明让学生在确信以上规定具有科学性、合理性、最优性的基础上，自主得出完整的倾斜角概念(即包括直线l与x轴平行或重合时的情况).

设计意图把直线与x轴平行或重合时的情形作为定义的一部分来处理：(1)保证了知识的完整性；(2)体现了数学思维的严谨性；(3)有助于学生准确理解倾斜角的概念；(4)减少相关错误.

问题7倾斜角的取值范围如何？

操作说明让学生通过讨论、探索自己得到倾斜角的范围，特别是直线l与x轴平行或重合时倾斜角为0°.

4.3 直线的斜率

问题8建立倾斜角的概念后，有没有新的问题需要解决？有没有更好的方法来刻画直线的倾斜程度？

设计意图让学生认识到：数学是在不断地解决问题又不断地提出新问题的过程中发展的；倾斜角具有简单、直观等优点，但其本质上仍然是一个几何量.倾斜角没有与直线上点的坐标建立联系，具有计算不方便、“坐标化”程度低等缺点.

操作说明让学生展开适度的讨论.

问题9既然2个点决定一条直线，那能否用直线上的2个点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的坐标来表示直线的倾斜程度呢？

设计说明这里没有按教材安排直接给出斜率的概念，而是改为探索2个点的坐标与斜率之间的关系，目的是强化解析几何基本思想方法的教学，同时使学习更具探究性与创造性.

图4

问题10能否从“坡度”概念中寻找启发，突破用直线上2个点的坐标来表示直线倾斜程度的难点呢(如图5)？

图5

图6

设计说明教师的追问实质上是对学生建构知识策略与方法的指导.

问题11现在有了倾斜角与斜率这2个刻画直线倾斜程度的量，还有什么问题需要探讨吗？

设计说明问题12最好由学生自己提出，这样探究会更真实，学生的思维会更主动.

问题12直线的倾斜角与斜率都是刻画直线倾斜程度的量，它们之间是否存在联系？

操作说明让学生自己去发现结论，然后设法证明.若学生只考虑到倾斜角为锐角的情况，则教师再继续追问倾斜角为钝角的情况.在得出结论“直线的斜率就是倾斜角的正切值”后，教师说明直线倾斜角的正切值也叫做直线的斜率.

4.4 巩固与运用

问题13请填写表1：

表1 倾斜角与斜率的关系

操作说明由学生直接口答.

图7

问题14如图7，已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是钝角还是锐角．

操作说明此题难度不大，不需要教师作为例题来讲解，故由学生自主作答.教师请一位学生上台板演，然后将巡视中发现的问题予以纠正.

问题15在直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1,-2的直线l1，l2.

操作说明用如下2种思路求解.

思路1要画出过原点的直线l1，只需在l1上再找某一点A1.

思路2由斜率的意义知，把原点先向右移动1个单位，再上移动1个单位，即得直线l1上另一点A1(1,1)；把原点先向右移动1个单位，再下移动2个单位，即得直线l2上另一点A2(1,-2).

4.5 回顾与梳理

问题16本节课你学到了哪些知识？用到哪些数学思想方法？

操作说明教师在学生回顾小结的基础上，指出：(1)本节课用到的思想方法有坐标法、类比、数形结合、分类讨论等；(2)华罗庚曾指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”其中坐标法是数形结合的最好载体.

4.6 课后作业

1.“若直线的倾斜角越大，则它的斜率也越大”对吗?试举例说明.

2.(1)当m为何值时，经过2个点A(-m,6),B(1,3m)的直线斜率是12？

(2)当m为何值时，经过2个点A(m,2),B(-m,-2m-1)的直线的倾斜角是60°？

3．已知点A(1,2),B(3,4),C(x,y)，这3个点是否在同一直线上，为什么？

4．请探究2条直线平行和垂直时，它们的斜率有怎样的关系？

5．(选做题)请上网或到图书馆查找笛卡尔与解析几何起源的相关材料.

设计说明既应有模仿型、巩固型作业(如第1,2,3题)，也应有探索型、创新型作业(如第4题)；既应有必做作业，也应有选做作业.

5 “准创造”教学法实践后的体会与反思

(1)不可机械地、片面地理解和使用“准创造”教学法.在实践中，时时、处处使用“准创造”教学法，既没有必要也没有可能.教学的关键在于处理好“教师引导”与“学生创造”之间的度的关系，在于统筹兼顾、各有侧重地培养学生的能力，在于追求教学效益的最大化.

(2)要处理好预设与生成的关系.本节课就犯了预设太多、放得不开、没有随机应变的毛病.要让没有探究习惯的学生在45分钟内以讨论、探究等方式自主建构坐标法、倾斜角、斜率等很困难.若去掉讨论斜率与倾斜角的关系和课堂巩固练习等，进一步强化解析几何思想方法的形成过程，强化学生对倾斜角、斜率等概念的讨论与探究，则实际教学效果可能会更好.

(3)要在教师有效指导和学生有效“再创造”上下功夫.教师有效指导学生探究和学生进行有效创造是一件说起来容易做起来难的事情.“准创造”教学法要求教师的指导要力求具体、针对性强；要求学生不断地改进自己的学习习惯与学习方法，提高探究能力.

(4)“准创造”教学法是完全可行的.教师不可低估学生“再创造”的能力，剥夺学生“再创造”的机会.例题未必需要教师讲解，概念和结论未必需要教师给出，学生一旦适应了这种新的教法、学法，他们的创造潜能会得到极大地发挥.

(该课例为浙江省台州市李昌官名师工作室领衔人李昌官为工作室成员及全市部分高中数学教师所上的示范课、研究课.)

李昌官，男，浙江省临海市人，台州市教育局教研室主任、书记，华东师范大学在读教育博士.曾获苏步青数学教育奖一等奖、浙江省特级教师、台州市拔尖人才等荣誉称号.学术兼职有浙江师范大学教育硕士导师、人教版课程标准中学数学实验教材培训团专家、浙江省特级教师协会理事、浙江省数学会理事、浙江省教育学会中学数学教育分会副会长、台州市特级教师协会副会长兼秘书长等.主持研究的课题中有3项获浙江省人民政府基础教育教学成果二等奖.在《数学教育学报》、《课程·教材·教法》、《人民教育》、《数学通报》、《中学教研》(数学)等刊物上公开发表论文50多篇，主编或参编各种教学用书20多本.主讲的《高中数学必修4教学经验》由人教社制作成光盘作为培训资料随教材发行.