挖掘题根 窥斑见豹——对杭州市下城区即兴说题题目的几点思考

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(鄞州区鄞江镇中心初级中学 浙江宁波 315151)

挖掘题根窥斑见豹
——对杭州市下城区即兴说题题目的几点思考

●田海霞

(鄞州区鄞江镇中心初级中学 浙江宁波 315151)

题根概念提出者万尔遐老师说：题根是题目的根基，它不是一个孤立的题目，也不是一堆题目中单一的个体，它是一个题族的根祖，一个题系中的根基，一个题群的代表.在实践中常常发现，千姿百态的数学题目犹如一棵树上的枝枝叶叶，虽然看上去纷繁复杂，但是它们之间其实是息息相通的，它们都是从同一题根衍生变化而来，故在研究问题时可以通过窥其题根而见其全貌.

研究题根对教学、命题和解题都有特殊的意义.如在教学中，可以从例题这个题根出发，对其进行一系列的衍生，让学生在例题的有序变化中发现问题变化规律，发现变化中的不变，从而找到该系列问题的根本解决办法，达到“解一题，通一类”的教学目的；在命题中，通过对课本中的关键知识点进行适当的拓展衍生，衍生出基础性、灵活性、趣味性强的好题目，让学生既掌握重点知识，又发展思维能力，还能提高学习兴趣；在解题中，学生通过对问题题根的挖掘，熟练而快捷地找到问题的解决办法.因此，在平时教学中，教师要充分重视对问题题根的挖掘与衍生教学.下面以2011年杭州市下城区即兴说题题目为例，阐明数学题根挖掘与衍生的一些策略.

1 试题呈现

图1

例1已知ABCD是矩形，以C为圆心，CA为半径画一段圆弧分别交AB，AD延长线于点E，F，联结EB，FD.若把Rt∠BCD绕点C旋转角度θ(0°<θ<90°)，使得该角的2条边分别交线段AE，AF于点P，Q，则CQ2+CP2=

( )

A．2QF·PEB.QF2+PE2

C.(QF+PE)2D.QF2+PE2+QF·PE

(1)请用你认为最简单的方法求解(注意是选择题)；

(2)请用几何方法证明你的选择是正确的；

(3)建立一个直角坐标系，用代数方法证明你的选择是正确的.

本题通过对平面几何一个基本图形的巧妙构思：变化中体现不变，复杂中蕴涵本质，既突出考查直觉思维，又对解题素养有较高的要求.

2 挖掘题根

图2

挖掘本题题根，实质上就是以等腰直角三角形的斜边中点为顶点，作一直角与原来2个直角边相交形成正方形时的基本图形.图2即为本题题根，它是学习等腰直角三角形时的经典问题,各种版本的教材上都有涉及.由此，命题者就以此为线索寻求新的创意与变化：将Rt∠BCD绕点C作如图3所示的旋转变换，再将特殊的等腰直角三角形变为一般的直角三角形(如图4)，再外加一件华丽的外衣——圆，例1就是这样演变而来.从上述分析可知，例1(注意是选择题)最简单的求解方法，最容易想到的便是当△AFE是等腰直角三角形，Rt∠BCD绕点C旋转45°时的情况，可排除选项A，再考虑旋转角度θ的可连续性，当θ=0°时结论也应该成立，因此就从题根(如图2)找到正确答案为B.这也是命题者突出考查教师直觉思维的意图.

图3 图4

3 衍生题根

找到了本题的题根，可以对该题根进行衍生，以利于扩大战果.常用的衍生方法有：(1)从特殊向一般衍生.特殊是一般的根，如直角三角形是一般三角形的根，所谓解三角形，实际上就是将一般三角形直角化.故对题根衍生的办法之一为从特殊向一般延伸.(2)从有限向无限衍生.无限问题常常转化为有限情况下去找寻数学规律，故有限是无限的根，有限可以向无限衍生.(3)从静态向动态衍生.静态是动态之根，在解有关动态问题时，我们经常把它转化为静态情况下去解决，从不变中研究变化.下面以本题提到的题根为例对其进行多方面的衍生.

3.1 衍生到一般三角形

如图5，在△AFE中，点C为EF的中点，Rt∠PCQ的2条边分别交线段AE，AF于点P，Q，根据旋转变换的性质可得QF+PE>PQ，再延伸下去，根据余弦定理可得

CQ2+CP2=QF2+PE2+2QF·PE·cosA.

图5

本题渗透了从特殊到一般、从简单到复杂的数学思想方法，可以较好地考查学生猜想、归纳、合情推理、论证的能力，但究其本质，还是源于对问题题根的深刻理解.

3.2 衍生到一般四边形

从结论出发用分析法分析，根据维果茨基的最近发展区理论，想到的是勾股定理：CQ2+CP2=QP2=AQ2+AP2.从已知出发，用综合法分析，结合此题最本质的题根(图2)衍生到图6：在正方形AFHE中，C是正方形的中心，结合图形旋转变换的性质，得到QF=GE或FM=PE，接着得到

QP2=GP2=GE2+PE2=QF2+PE2

或

QP2=QM2=QF2+FM2=QF2+PE2.

在矩形AFHE中，如图7所示，同理得证.

图6 图7

例1第(2)小题的问题设置较好地考查了合情推理的能力，用动态观点思考几何问题，正是寻求简便解题方法的一种有效策略.同时它也告诉我们，教学中让学生正确认识基本图形的特点，透彻理解问题的本质是多么重要！

3.3 衍生到以圆为背景的问题

分析(1)易想到PQ为圆的直径，∠QCP=90°，运用例1的结论AQ2+AP2=QF2+PE2解题.

(2)考虑Rt△AFE的面积，易想到的是用字母表示直角边的长度.不妨设AF=a，AE=b，AQ=x，AP=y，结合上述结论可得

得

再结合二次函数的顶点公式和不等式知识得证.

本题借鉴了例1的构思，同时把圆的相关知识巧妙地渗透其中.巧用函数思想，使知识的覆盖面更广，考查也更全面，对学生的能力要求也更高.

图8 图9

3.4 衍生到动态问题

如图9，已知点C为Rt△AFE斜边FE的中点，AF=8 cm，AE=6 cm，点Q，P从点A同时出发，在线段AF，AE上运动，速度之比1∶2，其中点Q的运动速度为1 cm/s，问运动几秒后CQ⊥CP?

分析逆向思考.若CQ⊥CP，则

AQ2+AP2=QF2+PE2，

从这个等量关系联想到运用方程思想解题，把几何问题代数化，是解决几何问题的常用思想方法.设运动x秒时CQ⊥CP，可得方程

x2+(2x)2=(8-x)2+(6-2x)2.

本题借鉴了题根，又独辟蹊径，它把问题原型巧妙改变：随着点Q的运动,∠QCP的大小也随之变化.这样，考查基本数学思想与数学思维能力的目的就凸显出来，用动态的观点研究问题，在变与不变的思考中，紧紧抓住不变的因素,思路的得出也就顺其自然.

图10

万尔遐老师曾说：抓住了一个题根，就等于抓住了这个题族、这个题群、这个题系.浩如烟海的题目同根共源，犹如一棵枝繁叶茂的大树(如图10所示)，都源自于同一根系，解一题可以破万题.我们的教学根植于最原始的数学基本概念、图形和原理，然后从最本源的问题出发开始演绎，让题目有序化、结构化、系统化.这样，学生就不会成为解题的机器，可以“打通经脉”，掌握“解一题，通一类”的本领，减负就不再是空谈！