立足双基关注热点把握范围——谈三角函数的自主招生备考

2012-11-07

中学教研(数学) 2012年6期

关键词：余弦定理热点本题

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(绍兴市第一中学浙江绍兴 312000)

立足双基关注热点把握范围——谈三角函数的自主招生备考

●虞金龙

(绍兴市第一中学浙江绍兴 312000)

三角函数是一种重要的函数，它的定义和性质独特，在自主招生中是对基础知识和基本技能考查的重要内容之一.因此在备考时，要在三角函数的灵、活、巧上下功夫，在备考前，应立足双基，关注热点，把握范围.

1 立足双基

三角函数是基本初等函数之一，要充分关注三角公式的灵活运用，巧妙利用特殊角进行角的变换，合理利用三角函数的图像和性质进行解题.

1.1 灵活运用公式

( )

(2011年清华大学等七校联考试题)

解由降幂公式得

评注公式多是三角函数的一大特点，如何灵活运用公式是夯实三角函数双基的基本途径.本题主要考查三角函数的和差公式、降幂公式及三角恒等变形公式.本题的解题关键是利用条件将所给的函数“化一”，即变形为一个角或一个三角函数的形式.一般来说，求解三角函数的周期、最值等问题，都可以利用“化一”的方法，因此考生要给予重视并熟练运用.

1.2 巧化角的变换

例2求sin410°+sin450°+sin470°的值.

(2010年清华大学自主招生试题)

解sin410°+sin450°+sin470°=

cos480°+cos440°+cos420°=

2cos40°+cos2160°+cos280°+cos240°)=

评注角的变换是三角函数考查的重点之一，由于题目的形式各不相同，因此解题方法也因题而异.从整体上讲，角的变换要着重抓住“特殊角”，考虑角与角之间的关系.本题主要利用三角公式，巧妙利用角的变换达到解题目的.

1.3 合理利用性质

(1)求φ的大小；

(2)当x∈[0,π]时，方程f(x)-m=0恰有2个不同的实根，观察f(x)的图像，写出m的取值范围.

(2009年华中科技大学自主招生试题)

解(1)函数f(x)=-[sin2(x+φ)+

cos2(x+φ)]=

又因为

所以

φ=0.

图1

(2)由第(1)小题知

评注三角函数的图像和性质是三角函数的核心问题，自主招生试题中也常对性质进行考查，主要利用数形结合的思想，有时灵活性较大并有一定的难度.

2 关注热点

在历年的自主招生试题中，三角形中的问题是考查的热点之一，此类问题主要利用正弦、余弦定理和内角和定理，在复习时要注意把握热点，做到有的放矢.

2.1 关注三角形中的问题

例4已知△ABC不是直角三角形.

(1)证明：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;

(2011年清华大学等七校联考试题)

tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB).

因为△ABC不是直角三角形且A+B+C=π,所以A+B=π-C,从而

tanA+tanB= tan(π-C)(1-tanAtanB)=

-tanC+tanAtanBtanC,

因此

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

(2)依题意，知

由第(1)小题，得

从而

又根据题意有

从而

即

整理得

3cos(A-C)= 1+2cos(2A-2C)=

4cos2(A-C)-1,

即

4cos2(A-C)-3cos(A-C)-1=0,

解得

评注三角形中的问题是历年自主招生的热点之一，本题主要利用三角形的内角和定理及和角公式.

2.2 重视正、余弦定理的应用

( )

(2010年清华大学等五校联考试题)

解法2由正弦定理可将a+c=3b变形为

sinA+sinC=3sinB=3sin(A+C),

右边展开并整理可得

sinA(1-3cosC)+sinC(1-3cosA)=0,

即

从而

即

评注在历年的自主招生试题中，利用正余弦定理设计考题是考查重点之一.本题主要利用正弦定理、内角和定理及角的和差公式.

3 把握范围

由于各地高考要求不一，因此考生必须了解自主招生命题的范围.纵观近几年各校的自主招生试题，对三角公式的要求比较高，除记住二倍角公式外，对三倍角公式也有一定的要求.另外，积化和差、和差化积公式也屡有见到，考生在复习时必须把握好.北京大学等名校还时常考查三角函数与其他内容的综合问题，考生必须针对自己的招生学校把握好复习范围.

3.1 熟记特殊公式

例6三角形的3条边长为连续整数.

(1)是否存在这样的三角形，其最大角是最小角的2倍？

(2)是否存在这样的三角形，其最大角是最小角的3倍？

(2005年上海交通大学保送、推优生数学试题)

解设三角形的最大角为α,最小角为β，3条边长为n,n+1,n+2.