解析几何竞赛题的解题方法

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(杭州高级中学 浙江杭州 310003 )

解析几何竞赛题的解题方法

●周顺钿

(杭州高级中学 浙江杭州 310003 )

解析几何的本质是用代数方法研究几何问题，其核心思想是数形结合.解决解析几何问题的根本方法是坐标法：建立恰当的坐标系，设点的坐标，设曲线的方程，列出关系式，再进一步找联系、找转化点，实现问题的解答，最后加以验证.把这样的解题思维链优化为“建、设、列、解、验”五字诀，其中“设、列、解”是常用的解题方法.

通过坐标方法将几何问题转化为代数问题，其解题过程中的关键是减少运算量.

有关直线与圆的问题，利用圆和直线的几何性质就可降低运算量；有关圆锥曲线的问题，采用圆锥曲线的定义、设而不求的方法和一元二次方程的韦达定理是解题的通性通法；选择曲线的参数方程、极坐标方程也能简化解题过程.

1 利用平面几何性质

例1已知直线L:x+y-9=0和圆M:2x2+2y2-8x-8y-1=0，点A在直线L上，B，C为圆M上的2个点.在△ABC中，∠BAC=45°，AB过圆心M，则点A横坐标的取值范围为______．

(2009年全国高中数学联赛试题)

(2006年全国高中数学联赛试题)

又由圆幂定理得

代入式(1)，式(2)得

评注灵活运用平面几何性质，是减少解几运算量的有效途径.

2 利用圆锥曲线的定义

( )

解设PI延长线交x轴于点Q，则

于是

故选A．

例4设双曲线x2-y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，若△PF1F2的顶点P在第一象限的双曲线上移动, 求△PF1F2的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边PF2上的切点轨迹.

(2005年浙江省高中数学竞赛试题)

图1

解如图1，记双曲线在x轴上的2个顶点为A(1, 0)，B(-1, 0)，G为△PF1F2的内切圆在边F1F2上的切点，H为△PF1F2的内切圆在边PF2上的切点，K为△PF1F2的内切圆在边PF1上的切点,则

|GF1|-|GF2|=|KF1|-|HF2|=

(|KF1|+|KP|)-(|HF2|+|HP|)=

|PF1|-|PF2|.

因为P(x,y)是在x2-y2=1第一象限的曲线上移动，当PF2沿双曲线趋于无穷时，与x轴正向交角θ的正切的极限是

从而

故点H的轨迹方程为

也可以用直角坐标形式.由于点G与A(1, 0)重合，是定点，故该内切圆圆心的轨迹是直线段，方程为x=1(0

评注充分利用圆锥曲线的定义，抓住本质.

3 利用韦达定理

例5如图2，P是抛物线y2=2x上的动点，点B,C在y轴上，圆(x-1)2+y2=1内切于△PBC，求△PBC面积的最小值．

(2008年全国高中数学联赛试题)

图2

解设P(x0,y0)，B(0,b),C(0,c),不妨设b>c,则直线PB的方程

整理得

(y0-b)x-x0y+x0b=0.

又圆心(1,0)到PB的距离为1，从而

易知x0>0，上式化简得

(x0-2)b2+2y0b-x0=0,

同理有

(x0-2)c2+2y0c-x0=0,

从而

于是

评注本题视b,c为方程的2个根，利用韦达定理减少了运算量.

4 利用参数方程

(1)求a,b之值；

(2)设点A坐标为(6, 0)，B为椭圆C上的动点，以A为直角顶点，作等腰直角△ABP(其中A，B，P按顺时针方向排列)，求点P的轨迹方程.

(2008年浙江省高中数学竞赛试题)

解(1)设c为椭圆的焦半径，则

于是

a=5，b=3.

(2)设B(x1,y1),，P(x,y),|AB|=r,则以A为圆心，r为半径的圆的参数方程为

设AB与x轴正方向夹角为θ，点B的参数表示为

点P的参数表示为

即

又由于点B在椭圆上，可得

此即为点P的轨迹方程.

5 利用坐标方法

解设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则过点A的椭圆E的切线方程为lA:

过点B的动圆C的切线方程为lB:

x2x+y2y=R2.

因为直线lA,lB重合，所以

代入椭圆方程，得

又OB⊥AB，有

OA2=AB2+R2，

a2+b2-2ab,

(2006年全国高中数学联赛试题)

证明因为y2=nx-1与y=x的交点为

显然有

nkm-km-1(m≥2) .

(8)

由于k1=n是整数，得

解析几何综合题是全国高中数学联赛一试的必考题.从上述例题可以看出，解析几何题难度大、要求高、思维活，但只要我们遵循考纲、夯实基础、拓宽思路、沟通知识间的纵横联系，熟练掌握数形结合、化归转化等思想方法，必能适应数学竞赛的要求，解答好解析几何竞赛题.