巧用直线参数方程解圆锥曲线中的常见问题

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(宁波市职业技术教育中心学校 浙江宁波 315040)

巧用直线参数方程解圆锥曲线中的常见问题

●陈健

(宁波市职业技术教育中心学校 浙江宁波 315040)

已知过点P0(x0,y0)，倾斜角为θ的直线l的参数方程为

1 巧选t轴原点，解决定性问题

在用直线参数方程解题时，很多人想当然地认为P0(x0,y0)是“定点”，这样在使用时会受到限制.其实“动”与“静”是相对的.在实际解题过程中，可以根据是否能简化运算来灵活选择P0(x0,y0)作为t轴的原点，这时点P0相对于l的任意点就是“定点”.

图1

例1如图1，点P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)内部的任意一点，过点P且倾斜角互补的2条直线与抛物线分别交于点A,B,C,D，求证:∠ACD=∠ABD．

证明设直线AB，CD的倾斜角分别为α，β，则直线AB的参数方程为

设此方程的2个根为t1,t2,则

由参数t的几何意义知

同理可得

因为直线AB，CD倾斜角互补，所以

sin2α=sin2β.

由式(1)，式(2)得

AP·BP=CP·DP，

点评虽然P(x0,y0)为任意点，但是点P为动弦AB与CD所在直线的交点，由于2条弦的位置是固定的，从而点P也是相对固定的，这样就可以选择点P为t轴的原点，设立直线参数方程，巧妙地证明此类定性问题.若结合函数、不等式、三角函数等知识点,此方法还可以适用于解决最值问题.

2 巧用t1+t2=0，解决中点问题

圆锥曲线中有许多涉及中点和对称性的问题，特别是存在性问题,条件比较开放，常常使学生很难入手.若用直线参数方程中参数的几何意义来解，则能顺利切入题目，解法也较为简单.

解设过点B(1，1)的直线参数方程为

t2(2cos2α-sin2α)+2t(2cosα-sinα)-1=0.

(3)

由已知BQ1=BQ2得t1+t2=0,即

解得

sinα=2cosα，

此时式(3)简化为

t2(2cos2α-sin2α)-1=0.

若存在这样的直线m,使得点Q1,Q2关于点B对称，则

而当sinα=2cosα时，

故这样的直线m不存在.

点评例2若按常规方法探讨是否存在,消去参数后计算繁杂.现巧用t1+t2=0,使问题的解法“豁然开朗”,且运算过程较为简洁.

3 巧用d=|t1-t2|，解决弦长问题

直线与圆锥曲线相交形成的“弦长及相关问题”是比较常见的一种题型.此类问题若用一般方法解答，则往往比较复杂且繁琐；若能紧紧抓住直线参数方程中t的几何意义来处理线段长度问题,则能带来极大的方便.

图2

解设直线l的参数方程为

(1+sin2α)t2-2tcosα-1=0.

设点A,B所对的参数为t1,t2，其中

Δ=4cos2α+4(1+sin2α)=8>0,

且

不妨设|AE| ∶|EB|=2 ∶1，则t1=-2t2，从而

t1t2=-2(t1+t2)2，

因此

即

8cos2α=1+sin2α,

解得

从而

点评直线上有关线段长度的问题,在直角坐标系内一般运用距离公式

处理.在涉及多条线段且关系复杂时，利用直线的参数方程转化为d=|t1-t2|，可将直角坐标系内的距离“一维化”，从而加快解决此类问题的速度.

4 巧用t的几何意义，解决轨迹问题

圆锥曲线中还有一类问题是非常多见的，它就是“轨迹问题”.要用有限的条件去“捕捉”动点的“万般”变化趋势，特别是在“动点”个数比较多时，要建立关系式是比较困难的.下面介绍怎样用直线参数方程中的几何意义来处理此类问题.

图3

例4如图3，已知直线y=2x+m和双曲线x2-y2=1交于点A,B，P是这条直线上的点，且满足条件|PA|·|PB|=5.当m变化时，求点P的轨迹方程.

解设P(x0,y0)，直线y=2x+m的参数方程为

即

将y=2x+m代入x2-y2=1得

3x2+4mx+m2+1=0.

因为直线与双曲线有2个不同的交点，所以

Δ=(4m)2-12(m2+1)>0，

解得

点评巧设P(x0,y0)为t轴原点，设立直线参数方程，虽然此题看似有3个“动点”比较难于解答，但利用t的几何意义“以静制动”，达到了出其不意的解题效果.

总之，运用直线的参数方程解圆锥曲线中的几类题,可使有些看似复杂的问题变得简单.同时这类解题方法思路清晰,可操作性强，学生容易掌握，并可进一步提高学生综合运用代数、几何三角函数知识的能力,从而激发学生的学习热情,拓展学生思维能力.教师在教学过程中能对直线的参数方程作适当的补充与渗透,对学生数学视野的拓宽、探索能力的培养能起到较大的帮助.

[1] 彭耿玲.巧用直线的参数方程解题例说[J].福建中学数学，2009(8)：30-32.

[2] 朱斌.新课标下直线标准参数方程的应用(高三)[J].数理化学习，2009(6)：47-49.

[3] 欧阳先博.浅谈直线标准式参数方程化二维为一维的解题功能[J].数学通讯，2000(10)：10-11.

[4] 高凯.直线的参数方程在圆锥曲线中的应用[J].中学教研(数学).2011(3):29-30.