带形状参数控制的三次B样条曲线曲面的光顺

郑兴国， 朱婉捷， 夏成林 彭凯军

（1.合肥工业大学数学学院，合肥 230009；2.厦门大学数学科学学院，厦门 361005）

带形状参数控制的三次B样条曲线曲面的光顺

郑兴国1， 朱婉捷2， 夏成林1彭凯军1

（1.合肥工业大学数学学院，合肥 230009；2.厦门大学数学科学学院，厦门 361005）

三次B样条曲线是一种广泛应用于计算机辅助几何设计中的非常重要的曲线.本文在以曲线的最小应变能作为衡量曲线光顺性的基础上，采用带调节控制参数的方法分别对三次B样条曲线和双三次B样条曲面进行了光顺处理.由所提供的方法以及实例可以看出，本方法可在曲线曲面光顺的基础上通过修改参数大小以达到控制曲线曲面形状的目的，且修改后的点的位置与原坏点的距离是由参数的大小控制决定的，这样就使得我们的光顺处理可以控制在数据测量的误差范围内.

B样条曲线；B样条曲面；应变能；光顺

1 引 言

首先介绍一下关于曲线是否光顺的标准［3］：衡量曲线光顺有好几种标准，通常是建立一个最优函数来衡量.人们经常用曲线的二阶导数的平方为基础来建立函数.过去也曾用曲线的曲率或高阶导数来作为基础建立函数.实际应用中，人们普遍接受和应用的标准是最小应变能，建立的函数是

其中κ是曲率，s为弧长参数，l为曲线长度.但这样的表达式比较复杂，因此计算起来非常费时，实际应用中一般用近似的能量函数来代替.

2 三次B样条曲线的带参数的光顺

2.1 曲线光顺方法.

设p（t）是插值于型值点列pi（i＝0，1，…，n）的三次均匀B样条曲线，与pi对应的参数为i，其控制点列为Vj（j＝0，1，…，n＋2），并设pj是坏点.

Vj－2，Vj－1，Vj，Vj＋1，Vj＋2为插值于pj－1，pj，pj＋1并满足端点切失条件p′j－1，p′j＋1的三次B样条曲线p（t）的控制点列，则有

坏点pj移动到新的位置pjg时，记pjg＝（p0，…，pj－1，pjg，pj＋1，…，pn），类似地，记pjg（t）是插值于型值点列pjg的三次均匀B样条曲线.

一个函数f的近似能量定义为

2.2 数值例子

考察在只有一个孤立坏点的情况下的光顺结果：

图1 B样条曲线的光顺

如图1所示，实线、点线、点虚和虚线分别表示原曲线以及σj＝10，100，1000时利用定理2.1进行光顺后所得到的曲线.可以看出，随着参数σj取值的不同，光顺后所得到的曲线及其光顺程度（应变能变小）也是不同的.当σj＝10时，光顺效果最好，但此时坏点的新位置与原坏点的距离相对较大，也即新位置与原坏点偏差较大.σj＝1000时，光顺效果较差，但距离相对较小，也即新位置与原坏点偏差较小.σj＝100时光顺效果和距离介于两者之间.另外，公式（1.1）还可以重复迭代使用，只不过此时参数σj对原坏点与其新的位置的距离控制已变得比较复杂，所以在迭代过程中，要随时注意距离误差，以免超出限定误差范围.显然，我们可以利用参数的取值大小进行在误差范围内的曲线的形状控制.误差公式可由定理1.1推出

此方法也可很容易推广到三次非均匀B样条曲线上.

3 双三次B样条曲面的带参数的光顺

3.1 曲面光顺原理［4－6］.

与曲线光顺方法相似，我们希望通过调整坏点处的位置以求提高曲面的光顺性.但对曲面上的点进行光顺，不能仅修改曲面上的等参曲线和单根控制网格线.采用如下方法对双三次B样条曲面进行光顺［4］：

对给定的双三次B样条曲面

如果过型值点pkl的u，v方向的两条截面曲线都较为光顺（即应变能量较小），则曲面在点pkl处较为光顺.

3.2 曲面光顺方法.

设S（u，v）是插值于型值点阵pij（i＝0，1，…，n；j＝0，1，…，m）的均匀双三次B样条曲面，即S（i，j）＝p.控制点阵为V（i＝0，1，…，n＋1，n＋2；j＝0，1，…，m＋1，m＋2），u，v方向的参数节点矢量为

并设已得到坏点为pkl（0≤k≤n，2≤l≤m－2）.

此时，与坏点及u，v方向有关的两条截面曲线的型值点分别为pkj（j＝0，1，…，m）和pil（i＝0，1，…，n）.类似于定理4.1对这两条曲线同时进行光顺处理，使得这两条曲线的能量和减小，得到新的数据点，用它代替坏点重新差值即可得到光顺后的曲面.我们有如下定理：

定理3.1要使三次B样条曲面S（u，v）在点pkl处的能量递减，只需按照如下公式

其中σkl为控制参数，

Mu中型值点的导数为u向偏导数，Mv中型值点的导数为v向偏导数.

移动坏点pkl到新的位置.

3.3 双三次B样条曲面光顺的数值例子.

图2（a）所示为一张原曲面，它由11×11个型值点差值而成，包含一个坏点.（b），（c）分别为当参数等于100和0时所得到的光顺曲面.而（d）则为在（c）的基础上再迭代一次所得结果，（e）为在（d）的基础上再迭代七次所得结果.从图中可以看出，当参数等于100时，光顺效果较差，但此时原坏点与其新位置的距离也较小，也即新位置与原坏点偏差较小.而当参数等于0时，光顺效果较好，但相应地，偏差较大.另外，本方法也可迭代使用，在本例中迭代过程是收敛的，当参数取0且在第九次迭代之后图形已经稳定如（e）图.

图2 双三次B样条曲面的光顺

4 实际应用中要注意的问题

通常我们用曲率图来判断应该移动哪个点：曲率图是曲率关于弧长或定义曲线的参数的图形，曲率图对曲线的形状非常敏感.如果一个曲线有一个良好的曲率图，那么我们认为这个曲线也就比较光顺.所以，曲率图被经常用来判断一个曲线的光顺程度［7，8，9］.

［1］Kjellander J A P.Smoothing of cubic parametric spline［J］.CAD，1983，15（3）：175－179.

［2］Kjellander J A P.Smoothing of cubic parametric surface［J］.CAD，1983，15（5）：288－293.

［3］施法中.计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条［M］北京：高等教育出版社，2001：96－106.

［4］Zhang Caiming，Zhang Pifu，Cheng Fuhua（Frank）.Fairing spline curves and surfaces by minimizing energy［J］.Computer Aided Design，2001，33（13）：913－923.

［5］龙小平.局部能量最优法与曲线曲面的光顺［J］.计算机辅助设计与图形学学报，2002，14（12）：1109－1113.

［6］Farin G.Curves and surfaces for computer aided geometric design—apractical guide［M］.3rd ed.New York：Academic Press，1993.

［7］Hoschek J.Smoothing of curves and surfaces［J］.Comput.Aided Geom.Des.1985，2（1）：97－105.

［8］Renz W.Interactive smoothing of digitized point data，Comput.Aided Des，1982，14（5）：267－269.

［9］Sapidis N，Farin G.Automatic fairing algorithm for B－spline curves［J］.Comput.Aided Des.1990，22（2）：121－129.

The Fairing of Cubic B－Spline Curves

ZHENGXing－guo1，ZHUWan－jie2XIACheng－lin1，PENGKai－jun1
（1.School of Mathematics，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China；2.School of Mathematical Science，Xiamen University，Xiamen 3610054，China）

Cubic B－Spline curves are very important curves in the field of Computer Aided Geometric Design，which are widely used in practical applications.In this paper，which is based on the least bending energy for estimating the fairing of curves，the fairing of cubic B－Spline curves and bicubic B－Spline surfaces are discussed by the methods with control parameter.Through the methods and the examples in this paper，we can get the aim which is controlling the shapes of the curves and surfaces by modifying the value of parameter based on the fairing of curves and surfaces.What’s more，the distance between the position of the modified data points and it’s original position can be controlled by the parameter，so we can make the fairing in the control of the extent of the error in the surveying datas.

B－Spline curves；B－Spline surfaces；strain energy；fairing

O241.5

A

1672－1454（2012）04－0087－05

2010－01－08；［修改日期］2010－06－02

合肥工业大学科学研究发展基金（071004F）；中央高校基本科研业务费专项资金（2012HGXJ0039）