几何凸（凹）函数积分的上（下）界比较及其一般结果

杨镇杭

（浙江省电力试验研究院，杭州 310014）

几何凸（凹）函数积分的上（下）界比较及其一般结果

杨镇杭

（浙江省电力试验研究院，杭州 310014）

运用齐次函数的分析性质，在基本不等式中插入了一个齐次加权”平均”，推广加细了基本不等式.作为特例，得到了加权的对数，指数平均不等式，从而部分解决了文［1］提出的问题.

几何凸函数；齐次函数；加权对数平均；基本不等式；上下界

1 问题的提出

定义 称φ为［a，b］上的严格几何凸函数，如果φ（x）在［a，b］⊂R＋上连续，且对于任意x1，x2∈［a，b］，t∈（0，1），有

若（1.1）反向，则称φ为［a，b］上的严格几何凹函数.

对几何凸函数的研究已有较丰富的参考文献，见［1］－［4］.其中文［1］研究了几何凸（凹）函数的定积分的上（下）界，得到了下列结果：

定理1.1设b＞a＞0，函数f在［a，b］上正值可积.如果f为［a，b］上的几何凸函数，则有

定理1.2的两个不等式可改写为

于是定理1.1（1.2）中几何凸（凹）函数的定积分的两个上（下）界的比较就归结为以下问题：

这正是张小明先生在文［1］附录2中所列问题9的一部分.

这个问题的深刻意义在于：1）它事实上提出了加权的对数平均问题，这在以往此类文章中均未见涉及，而仍然停留在算术平均或拟算术平均的范围；2）它涉及到加权对数平均对加权算术平均和加权几何平均的隔离问题.因此对这个问题的研究将会导出一系列新的平均不等式.

以下我们将运用齐次函数的分析性质，获得确定（1.11）大小关系的更为广泛的结果.作为特例，我们有

2 预备定理

为建立比（1.12）更广泛的结果，我们需要齐次函数的有关性质（见［8］）.为方便起见，引述如下.

定义2.1设f（x，y）定义在Ω上.若对任意t＞0，（tx，ty）∈Ω，有

则称f（x，y）是x，y的n次齐次函数.

引理2.1设f（x，y）是Ω上的n次齐次函数，且fx，fy均存在，则fx，fy均是Ω上的n－1次齐次函数，且有

特别地，当n＝1时，fx，fy均为0次齐次函数，即有

如果f（x，y）≠0，则（2.6）可改写为

由（2.3）～（2.7），我们可方便地证明下列两个预备定理.

证因H（u，v）为正数u，v的正一次齐次函数，由（2.3），（2.4）和（2.7）可知

因此，如果I＜0，则Fx（x，y）关于y严格单调递减，故

（i）当y＞x时，有Fx（x，y）＜Fx（x，x）＝0，此时F（x，y）关于x单调递减，从而有F（x，y）＞F（y，y）＝0；

（ii）当y＜x时，有Fx（x，y）＞Fx（x，x）＝0，此时F（x，y）关于x单调递增，从而有F（x，y）＞F（y，y）＝0.

由（i），（ii）可知，不论y＞x还是y＜x总有F（x，y）＞0，即

同理可证，当I＞0时不等式（2.11）的反向不等式成立.

预备定理2.2设H（u，v）为正数u，v的正一次齐次函数，a，b，x，y＞0，x≠y，则当Huv＜

（＞）0时，有

其中p，q的意义同（2.9）.

因此，如果Huv＜0，则Fx（x，y）关于y严格单调递减，故

（i）当y＞x时，有Fx（x，y）＜Fx（x，x）＝0，此时F（x，y）关于x单调递减，从而有F（x，y）＞F（y，y）＝0；

（ii）当y＜x时，有Fx（x，y）＞Fx（x，x）＝0，此时F（x，y）关于x单调递增，从而有F（x，y）＞F（y，y）＝0.

由（i），（ii）可知，不论y＞x还是y＜x总有F（x，y）＞0，即

同理可证，当Huv＞0时不等式（2.13）的反向不等式成立.

由预备定理1和预备定理2，我们有

推论2.1设H（u，v）为正数u，v的正一次齐次函数，a，b，x，y＞0，x≠y，则当I＝（lnH）uv＜0且Huv＞0时，有

其中p，q的意义同（2.9）.

不等式（2.14）表明，在基本不等式中还可插入一个新的”平均”（事实上它未必是一个平均，而徒具平均形式而已）.

3 问题的解决

接下来，让我们运用第2节的预备定理和推论，证明不等式（1.12）.

令H（u，v）＝L（u，v），则H（u，v）是正数u，v的正一次齐次函数，

由推论2.1知不等式（2.14）成立.而

令x＝f（a），y＝f（b）即得不等式（1.12）.

4 其 他

本文的预备定理除了包含基本不等式外，还包含了一些新的平均不等式.例如，设a，b，x，y＞0，x≠y，那么

这是基本不等式的加权形式.

这是指数平均不等式［9］.

（iii）H（u，v）＝｜u－v｜（u≠v）为u，v的正一次齐次函数.通过偏导数计算可得I＝ln（H）uv＞0，Huv＝0.由预备定理2.1可得

这实际上是加权的基本不等式的反向不等式［10］.

［1］张小明.几何凸函数［M］.合肥：安徽大学出版社，2004.

［2］张小明，吴善和.几何凸函数的一个充要条件及其应用［J］.湖南理工学院学报，2003，16（3）：17.

［3］张小明，李世杰.若干凸函数不等式在几何凸函数中的移植［J］.徐州师范大学学报（自然科学版），2004，22（2）：25－28.

［4］Constantin P，Niculescu.Convexity according to the geometric mean［J］.Mathematical Inequalities ＆Applications，2000，3（2）：155－167.

［5］哈代G H，李特伍德J E，波利亚G.不等式［M］.北京：科学出版社，1965.

［6］密特利诺维奇D S.解析不等式［M］.北京：科学出版社，1987.

［7］匡继昌.常用不等式［M］.2版.长沙：湖南教育出版社，1993：39－49.

［8］杨镇杭.齐次函数凸性的简易判定及应用［J］.高等数学研究，2004，7（4）：14－19.

［9］杨镇杭.指数平均与对数平均［J］.数学的实践与认识，1987（4）：76－78.

［10］杨镇杭.反向基本不等式及应用［J］.大学数学，2007，23（5）：147－151.

Comparison of Upper（Lower）Bounds for Integral of Geometrically Convex（Concave）Functions and General Results

YANGZhen-hang
（Zhejiang Province Electric Power Test and Research Institute，Hangzhou 310014，China）

Using the analytic properties of homogeneous functions，a homogeneous weighted mean is inserted in basic inequality，which generalizes and refines the basic inequality.As special examples，the inequalities for weighted logarithmic mean and exponential mean are presented，consequently apart of problems in article［1］is resolved.

geometrically convex functions；homogeneous functions；weighted logarithmic mean；basic inequality；upper and lower bounds

O178

A

1672－1454（2012）04－0076－05

2009－06－23；［修改日期］2009－12－07