数学分析教学改革的几点认识和体会

金玲玉， 房少梅， 刘文琰

（华南农业大学数学系，广东广州 510642）

数学分析教学改革的几点认识和体会

金玲玉， 房少梅， 刘文琰

（华南农业大学数学系，广东广州 510642）

剖析了数学分析与初等数学、数学史、泛函分析等课程之间的内在联系，阐述了其对于数学分析教学的影响；同时就如何改革数学分析的教学方法，如何提高学生的学习兴趣、提高学生的创新能力等提了几点建议.

数学分析；教学改革；教学方法

在数学专业的本科教学中，“数学分析、高等代数、解析几何”通常称为“老三基”，是大学低年级学习的重要基础课，其中数学分析尤其重要.首先它历时最长，总学时约300学时左右，其教学过程贯穿三到四个学期；其次它为学生提供学习后继专业课程（如常微分方程、复变函数论、实变函数论、概率统计等）所必须的基本理论、基本方法和基本技能.数学分析所体现的分析思想，逻辑推理方法，处理问题的技巧以及整个数学思维方法，在数学学习和科学研究中起着奠基性的重要作用.数学分析一直是数学教学的重中之重，而数学分析的教学也一直存在诸多难点 ，比如：教学内容过于抽象化、理论化，容易使学生感到枯燥，难以理解，激发学生的学习兴趣难；教授具体的知识点容易，使学生掌握相关的数学思想、培养学生的数学思维能力和创新能力难；与数学系其他专业课程、与初等数学的学习进行适当的衔接难等等.

针对上述难点，下面我们结合自己多年来进行数学分析教学改革的实践，谈谈一些认识和体会.

1 联系初等数学与初等微积分进行教学

微积分理论是数学分析与高等数学教学的主体.数学分析不同于高等数学的是，它已超出“经典微积分”的范畴，更多地关注十九世纪微积分严格化的成果，甚至近代分析学的成果.简言之，数学分析研究的是“严格意义下的微积分”.

数学系新生在学习数学分析之前，绝大部分已经在中学学过初等微积分，包括对极限和导数等概念的较为直观的定义，以及较为简单的求极限、求导数和求积分的运算等.而在大学阶段所学的“严格意义下的微积分”，涵盖了初等微积分的内容，并在此基础上对极限、导数等概念给出了严格的数学定义，同时对微积分理论体系中的定理给出了严格的证明.为了在中学微积分教学的基础上，立足于更高的观点来讲授数学分析，激发学生学习的兴趣，同时让学生认识到学习“严格意义下的微积分”的必要性，我们作了如下两点尝试：

1.1 联系初等数学进行教学.

初等数学是常量的、静态的数学，它只能解决和解释常量的几何问题和物理问题，比如求规则图形的长度、面积和体积，匀速直线运动的速度，常力沿直线所作的功，以及质点间的吸引力等；微积分是变量的、动态的数学，它解释和解决那些变化的几何问题和运动的物理过程，特别是描述一些物体的渐近行为和瞬时物理量等，比如不规则图形的长度、面积和体积，一般运动问题，变力沿曲线作功，一般物体间的吸引力等.

例1导数概念的引入——变速直线运动，切线斜率［1］.

同样在讨论切线问题时，初等数学定义为过圆的半径端点且垂直于该半径的直线或与圆只有一个交点的直线称为圆的切线，这是孤立静止的观点，它并不适用于所有的曲线.要考虑任意曲线在其上任意一点处的切线，需要用运动的观点考察问题.在曲线上任取一动点，连接两点的直线即为曲线的割线，当动点沿曲线无限接近定点时，割线的极限位置即为曲线在该点的切线，切线的斜率为运动割线斜率的极限.

例1考虑的速度和斜率在匀速运动和直线的情形下，其计算是简单的除法，但对于“非匀速运动”和“曲线”，其计算就是求导数，即求函数增量与自变量增量商的极限.相应地，求函数增量可以用求微分近似代替.

例2积分概念的引入——曲边梯形的面积和变力作功［1］.

例2考虑的面积和功在直边形和常力的情形下，其计算是简单的加法与乘法，但对“曲边形”和“变力”的情形，其计算就是积分.

综合上述两例，可以给出一个不太准确的说法：微积分研究的是“非线性情形下的和差积商”.

讲解导数和积分概念时 ，要突出背景问题的运动变化和非线性的特征，与初等数学形成鲜明的对比——从直到曲、均匀到非匀、常量到变量、有限到无限，从而使学生认识到微积分是数学从常量时期进入变量数学时期的一个重要的里程碑，并逐步学会运用运动变化的观点来看待和解决问题.

1.2 联系初等微积分，运用悖论和反例进行教学.

学生在中学里已经初步认识了微积分最重要的几个基本概念，并学会了初步的微积分算法.进入大学后，他们接触到“严格意义下的微积分”，经常会产生两个问题：

一是难以接受微积分概念的严格数学定义，如数列极限的ε－N定义、一致连续的定义等，在学习过程中感到极大的困难；

二是对已经学过的微积分中的相关运算缺乏耐心，没有进一步深入探究和学习的动力.

为了解决上述问题，我们在教授相关内容时，首先是尽量完整清晰地给出概念的具体背景，讲清楚概念的来龙去脉，降低学生学习的困难，其次，也是我们更为看重的一个方法是：密切结合初等数学和初等微积分的内容，运用悖论和反例进行教学，使学生体会到微积分严格化的必要性，同时在进行计算和证明时有意识地验证条件，避免陷阱.

例3发散级数悖论［2］.

这是一个常见的几何级数，沿袭中学数学中级数求和的一个技巧，可以考虑把上式两边都乘以2，就得到

从而得到S＝2，即级数的和是2.

但若对级数S＝1＋2＋4＋8＋16＋…施行同样的变换，则有

从而得到S＝－1，这个结果显然是荒谬的.

为什么会出现这种荒谬的结果？通过这个例子，可以使学生认识到：中学熟知的级数求和技巧只适用于一部分级数，它的应用是有条件的，即只有收敛级数才能运用.从而引入级数的收敛性和发散级数的概念.

例4函数极限值悖论［2］.

，作变量替换x＝y＋π并回顾sin（y＋π）＝－siny，就得到

另一方面，有sin2x＋cos2x＝1对一切x成立，于是就有1＝0.

例4可以使学生惊讶地发现，原来常用的变量替换也是不能随便用的，前提条件是函数极限必须存在！结合这个例子，可以提醒学生，在运用函数极限的相关运算法则进行计算的时候，也必须先验证法则的适用条件是否成立.

通过上述例子，使学生体会到直观的认识、常规的做法常常是很不可靠的，为了在实际应用中避免出现谬误，必须加深对概念的理解，学习它们的严格化定义，同时对法则的适用条件要进行严格的验证，并学会把标准法则的条件加以弱化或改变，以使法则适用于更广阔的领域.

2 揭示概念间的内在联系

在数学分析教学中，最基本的要求是让学生掌握基本知识，基本技能.但是仅仅只有这些是远远不够的.数学分析教的不仅是一种知识，更是一种思想，一种学习数学的方法.对一些具体的知识，通过进行抽丝剥茧般的分析，从不同特征中找出共同的本质，揭示出概念间的内部联系，就可以使零散的知识点统一起来，并使学生对分析学的基本概念和基本思想加深认识.

数学分析概念繁多，但是数学分析的几个重要概念，如函数的连续、可导和可积［1］，都可以用极限的思想［1－2］将它们连贯串通起来.

可积：函数f（x）在［a，b］上可积⇔对于［a，b］的任何分割T，以及任意选取的点集｛ξi｝，

从教学过程中可以不断的启发学生，虽然这三种定义完全不同，但要注意到这些定义的共同点：都是通过极限定义的.以上三个定义实质是三种不同形式的极限.可见极限是这些定义的基础.从连续、可导、可积概念出发可以推广到多重积分，曲面、曲线积分，级数等等.这样，极限就将整个数学分析联系起来了.所以，极限思想可以说是贯穿数学分析的始终.

3 与后续课程联系起来进行教学

我们在数学分析教学过程中，一直试图将数学分析和一些后续课程如常微分方程、泛函分析、实变函数等联系在一起进行，以便加深学生对于各门课程之间联系的了解，进而充分认识到数学分析是整个数学的重要基础.

例5从研究对象出发，揭示数学分析、实变函数、泛函分析之间的内在联系.

a）数学分析研究的主要对象——函数，可记作y＝f（x）.定义域是R中子集，自变量取值为实数.

b）泛函分析［3］中研究的主要对象之一 ——泛函，可记作y＝f（g）.定义域是由函数构成的集合，自变量取值为函数或映射.泛函就是以函数为自变量的特殊映射.

c）实变函数［4］中研究的主要对象之一 —— 测度，可记作y＝m（E）.定义域是以集合为元素构成的集合，自变量取值为集合.测度是以集合为自变量，满足一定规则的特殊映射.

在学习数学分析的时候，就让学生了解：随着研究对象的不同而形成了不同的数学分支.这样能进一步扩大学生的知识面，加强学生对学习的兴趣；同时可进一步加深学生对数学分析中函数概念的理解，对于后续课程如实函、泛函的学习就有一定的帮助.

解 两边对自变量x求导，可得

所以

实质上方程（1）就是一个常微分方程.从方程（1）可以直观地看出所谓的微分方程就是含有有关未知变量导数的方程.常微分方程中导数是关于一个自变量的导数.若方程中有关于多个自变量的导数，那就是偏微分方程.之前我们学习的方程从本质上说都是代数方程.

将求隐函数的导数和介绍常微分方程联系起来，可为下一步学习常微分方程作铺垫，同时可加深对隐函数导数的理解，也进一步加深学生对数学分析这门基础课的重要性的认识.

4 注重讲解知识的来源 启发学生进行创新

在数学分析教学中，注意讲解知识的来源，运用观察、启发、归纳的手段让学生掌握数学研究的方法，调动学生进行数学研究的兴趣，提高其创新的能力.

例7 泰勒展式［1］的推导过程.

式，f（x）在定义域上可微.可见微分学中用一次多项式可近似逼近f（x），误差为o（x－x0）.

提出问题：可否将f（x）用n次多项式逼近呢？逼近的误差是否更精确？误差是多少？

注意观察：若f（x）一阶可导，则可用一次多项式p1（x）逼近.且满足

那么f（x）在什么条件下可用n次多项式pn（x）逼近，pn（x）应满足什么条件呢？显然可猜想到：若f（x）在定义域上n阶可导，那么可用pn（x）逼近，且pn（x）满足

因此可求n次多项式pn（x）.可设

即可得如下方程组

这样，猜测的pn（x）就计算出来，下面需要验证pn（x）近似地逼近f（x），且精度更准确.实际上，通过柯西中值定理可计算f（x）－pn（x）＝o（（x－x0）n）.这样可推导出泰勒展式［1］从以上泰勒展式的推导过程中，可以向学生介绍数学研究的主要方法.实际上可分为三步：

1.发现问题：原先用一次多项式可逼近f（x），精度为o（（x－x0）），精度不够，如何提高精度.

2.观察猜想：用n次多项式逼近f（x），精度是否可提高为o（（x－x0）n），且通过观察一次多项式满足的条件，猜测n次多项式满足的条件.

3.计算验证猜想，解决问题：通过计算可证实我们的猜想.

通过以上三步，可以很自然地推导出泰勒展式.在教学过程采用类似于例7的教学方法，可提高学生的创新兴趣，使学生掌握数学研究的基本方法，且具有初步的创新能力.

5 结合数学史进行教学

我国老一辈数学家余介石等人曾受美国数学家克莱因的深刻影响，主张：“历史之于教学，不仅在名师大家之遗言轶事，足生后学高山仰止之思，收闻风兴起之效.更可指示基本概念之有机发展情形，与夫心理及逻辑程序，如何得以融和调剂，不至相背，反可相成，诚为教师最宜留意体会之一事也.”这对于数学分析教学来说，尤其如此.结合数学史进行教学可以提高学生的学习兴趣，加强学生对于相关知识的理解.另外从数学史的整个发展趋势中，学生可以初步了解微积分知识的基本框架.

例8教授数学分析第一章——实数集与函数，引入第一次数学危机的故事.

大约公元前5世纪，不可通约量的发现导致了“毕达哥拉斯悖论［5］”.毕达哥拉斯学派认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比.但后来由于勾股定理的发现，进一步发现了等腰直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）.这一新发现直接触犯了毕氏学派的根本信条，称为“毕达哥拉斯悖论”.该悖论导致了当时认识上的“危机”，从而产生了第一次数学危机.

在发现无理数之前，人们认为只有整数和整数之比，这一认识是做为公理存在的.但随着知识的发展，社会的进步，当时的公理导致了悖论的出现.通过了解第一次危机，提高了学生的学习兴趣，鼓励学生开展创新，而不总是墨守成规.同时对有理数有了更深刻的理解，增加了对于实数性质学习的兴趣.

例9无穷小的学习与第二次数学危机.

无穷小是零吗？──第二次数学危机，贝克莱悖论［6］.贝克莱指出：“牛顿在求导数时认为无穷小既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬的”.没有清楚的无穷小概念，从而使得导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，而且导致了发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等问题.

通过第二次数学危机，对照数学分析教材中无穷小的概念，学生可以加深理解：无穷小是一类趋向于零的函数，常数零也是一类特殊的无穷小.

上面这些是我们在多年数学分析教学中得到的一些认识和体会，每进行一轮数学分析的教学，都会有一些新的认识和新的体会以及新的感悟.如何把这些感悟、这些教材上没有用公式表述出来的思想，传授给学生，让学生除了掌握教材中数学分析的系统知识体系之外，还能体会到那种只可意会、不可言传的美妙思维方法，这是我们努力的目标.

总而言之，数学分析常讲常新.

［1］华东师范大学数学系.数学分析（上、下册）［M］.北京：高等教育出版社，2001：1－4，87－88，134－142，200－202.

［2］陶哲轩.陶哲轩实分析［M］.王昆扬译.北京：人民邮电出版社，2008：4－6.

［3］张恭庆，郭懋正.泛函分析讲义［M］.北京：北京大学出版社，1990.

［4］郑维行，王声望.实变函数与泛函分析概要［M］.北京：高等教育出版社，2005.

［5］（美）克莱因（Kline M）.古今数学思想（第一册）［M］.朱学贤，申又枨，叶其孝，等译.上海：上海科学技术出版社，2002：37－38.

［6］（美）克莱因（Kline M）.古今数学思想（第二册）［M］.朱学贤，申又枨，叶其孝，等译.上海：上海科学技术出版社，2002：150－151.

Some Opinions and Understandings on Teaching Reform of Mathematical Analysis

JINLing－yu，FANGShao－mei，LIUWen－yan
（Department of Mathematics，South China Agricultural University，Guangzhou 510642，China）

we investigate some new teaching methods of mathematical analysis.In addition，we make some reform and exploration on several aspects such as teaching content，teaching method，and the improving interest in learning mathematical analysis.

mathematical analysis；teaching reform；teaching method

G424

C

1672－1454（2012）04－0025－06

2009－11－02

华南农业大学教改重点项目（JG12013）