具有阶段结构及功能函数的时滞系统的Hopf分支

朱 焕，李冬梅，许立滨

(1.哈尔滨理工大学应用科学学院，哈尔滨150080;2.黑龙江八一农垦大学文理学院，黑龙江大庆163319)

在自然界中，种群的增长往往具有一个生长发育的过程，可分为幼年、成年2个年龄阶段，或者可分为幼年、成年、老年3个阶段.在不同的年龄阶段，种群都会表现出不同的成长特征.另一方面，在研究种群动力学模型时，时滞对微分方程解的拓扑结构会产生较大的影响.在许多情况下，滞量的改变会破坏正平衡点的稳定性，进而产生Hopf分支.因此，在研究种群间的相互作用时，考虑阶段结构及时滞的影响因素是十分有意义的.

近年来，已有许多学者对具有阶段结构的种群动力学模型进行了研究[1－5].Magnusson J·G研究了成年捕食者具备捕食能力而幼年捕食者不具备捕食能力的阶段的捕食系统，得出若捕食者幼虫的死亡率较低或者转化成成虫的转化率较高时，则模型具有稳定的平衡点，否则成年捕食者会自食幼年捕食者，由此会产生Hopf分支[2].王稳地，陈兰荪研究了一类具有阶段结构的捕食－被捕食模型如下.

其中:xi(t)，xm(t)，y(t)分别代表幼年捕食者、成年捕食者、食饵在t时刻的密度.给出了模型存在着轨道渐近稳定的周期解，系统为永久持续生存的以及正平衡点为全局渐近稳定的充分条件[4].肖燕妮，陈兰荪研究了具有HollingⅡ类功能反应，且捕食者具有阶段结构的捕食－被捕食系统如下.

其中:x(t)，y1(t)，y2(t)分别代表食饵种群、幼年捕食者、成年捕食者在t时刻的密度;r为食饵种群的出生率;v1，v2分别代表幼年捕食者、成年捕食者的死亡率;k代表食饵到捕食者的转化系数;d代表幼年捕食者到成年捕食者的转化率.利用复合矩阵的理论给出了正平衡点为全局渐近稳定的条件[5].田晓红，徐瑞研究了食饵具有阶段结构的时滞两种群捕食系统，得到了正平衡点的稳定性，并且以滞量为参数，考虑了Hopf分支的存在性，得出当滞量经过一些特殊值的时候，正平衡点的稳定性被破坏，从而会产生Hopf分支[6].

许多生物种群其幼仔相对其成年种群而言非常弱小，一般不具备捕食食饵的能力，而是需要其亲体的抚养.因此本文将捕食者分成了幼年和成年两个阶段，在捕食过程中幼体是不具备捕食食饵的能力.并在模型中考虑进了适合哺乳动物的HollingⅢ类功能反应函数.由于幼年捕食者会向成年捕食者转化，所有又在模型中考虑了这个转化时间，即为时滞τ.得到了正平衡点为局部渐近稳定的条件，并且以滞量τ为参数得出了Hopf分支存在的条件，并利用数值模拟验证了所得到的结果.具体模型建立如下.

其中:x(t)，y1(t)，y2(t)分别代表食饵种群、幼年捕食者、成年捕食者在t时刻的密度;r为食饵种群的出生率，且食饵种群自身带有密度制约;k代表食饵到捕食者的转化系数;d代表幼年捕食者到成年捕食者的转化率;v1，v2分别代表幼年捕食者、成年捕食者的死亡率;τ≥0代表捕食者从幼年生长到成年所需要用到的时间.

由于种群生态意义，系统(1)应在

1 正平衡点的稳定性及Hopf分支的存在性

当kbd－(d+v1)mv2＞0时，可解得

由此可得

而，得系统(1)在正平衡点E*处Jacobian矩阵对应的特征方程为

其中

定理2若系统(1)满足(H1)及且则存在τ=0，使得系统(1)所对应的平衡点E*在τ＜τ0时仍然保持稳定，且在τ=τ0时产生Hopf分支.

证明 当τ=0时，特征方程(4)变为

若p1＞0，p1(p2+q2)－(p3+q1)＞0，由Hurwitz准则[7]，可知特征方程(5)所有根均具有负实部，则平衡点E*是系统(1)的稳定平衡点.

当τ≠0时，特征方程(4)关于τ是连续的，由函数的连续性，对微小的τ＞0，平衡点E*仍是系统(1)的稳定平衡点.

此时，系统(1)的特征方程(4)有一对纯虚根λ=±iω(ω ＞0).

事实上，ω应满足特征方程(4)，整理有

从而由式(6)，得

经计算可知

将ω0再代入到方程组(6)中，可解得

从而得出ω0所对应的τn为

τ0是式(4)产生纯虚根的小 τ值.当 τ＜τ0时，E*仍然保持稳定.由Butler引理[8]，下面只需证明则可知系统(1)在E*的附近产生Hopf分支.

将特征方程(4)中的λ视作τ的函数，记λ=λ(τ)，对 τ进行微分，有

解得

则有

由假设(H3)及式(7)有

则有

证毕.

2 数值模拟

考虑如下系统

经计算系统(8)的惟一正平衡点为E*=(1，8，6)，且得 τ0≈3.1635.当 τ=2＜ τ0时，正平衡点E*是稳定的平衡点(见图1).当τ=4＞τ0时，系统(8)正平衡点E*是不稳定，且在正平衡点E*附近分支出周期解(见图2).由此可知系统(8)在τ=τ0时产生了Hopf分支.

图1 τ=2时正平衡点E*稳定

图2 τ=4时正平衡点E*不稳定

[1]ALELLOW G，FREEDAM H I.A time－delay Model of Single－species Growth with Stage Structure[J].Math.Biosci.，1990，101:139－153.

[2]MAGNUSSON J G.Destabilizing Effect of Cannibalism on a Structured Predator－prey System[J].Math.Biosci.，1999，155:61－75.

[3]陈兰荪，王东达，杨启昌.阶段结构种群动力学模型[J].北华大学学报:自然科学版，2000，1(3):185－191.

[4]WANGW D，CHEN L S.A Predator－prey System with Stage－structure for Predator[J].Comp.Math.Appl.，1997，33:83－91.

[5]XIAO Y N，CHEN L S.Global Stability of a Predator－prey System with Stage Structure for the Predator[J].Acta Mathematica Sinica，English Series.，2003，2:1－11.

[6]田晓红，徐 瑞.一类具时滞和阶段结构的捕食模型的稳定性与Hopf分支[J].高校应用数学学报，2010，25(3):285－292.

[7]马知恩，周义仓.常微分方程定性与稳定性方法[M].北京:科学出版社，2001.

[8]FREEDAM H I，SREE H R V.The Trade－off between Mutual Interference and Time Lags in Predator－prey Systems[J].Bull Math Biol.，1983，45:991－1004.