有限区间上广义BBM－Burgers方程解的大时间性态

刘 艳，陈 琴

(暨南大学 数学系，广州510632)

本文研究如下广义BBM－Burgers方程在有限区间[0，1]上的初边值问题:

其中:u0(0)=u－(0)，u0(1)=u+(1)，u±是给定的常数且u－＜u+，流函数且满足f(0)

本文中对边值作如下假设:

为证明上述初边值问题的解在t→+∞时渐近收敛到边界层解φ，特引入如下定理:

引理1[2].若且式(2)成立，则如下常微分方程:

的边界值问题有惟一解φ∈C3([0，1]且满足

其中:C为正常数.

关于单个黏性守恒律的柯西问题，初边值问题及其解的渐近性参见文献[1－4]，文献[5－6]研究了BBM－Burgers方程行波解与稀疏波解的渐近性态，文献[7]用文献[4]的方法研究了广义BBM－Burgers方程在稳定波小及初始扰动小的情形下解的渐近性态，而半空间中广义BBM－Burgers方程在稳定波大及初始扰动小的情形下的边界层解渐近稳定性在文献[8－9]中得到讨论.本文则通过能量方法研究广义BBM－Burgers方程一般初边值问题在初始值扰动及稳定波不必小的情形下解的大时间性态.

记号注释:本文中用Ca，b表示仅依赖于a，b的正常数，在没有混淆的情况下，见简记为C，Lp=表示一般的Lebesgue空间，其范数为表示一般的Sobolev空间，其范数为，且为简洁起见，记并用表示.

1 主要定理

因u(0，t)-φ(0)=u-(t)-u-≠0，u(1，t)-φ(1)=u+(t)-u+≠0，为了使问题(1)的解的扰动的边界为0，构造修正函数，令g(t，x)=φ(x)+(1-x)(u-(t)-u-)e-x+x(u+(t)-u+)ex-1，则

定义问题(1)的整体解u(x，t)的扰动为ν(x，t)，即令ν(x，t)=u(x，t)-g(x，t)，则问题(1)变为:

下面给出本文的主要定理:

定理1假设 ν0∈H2([0，1])，f″＞0，初边值满足式(2)且φx(x)＞0，则问题(5)存在惟一解 ν(x，t)且满足

为证明定理1，先定义问题(5)解空间如下:

类似于文献[5]，可以通过标准迭代方法证明问题(5)解的局部存在性，有了局部存在性我们可以通过先验估计及连续性讨论来证明定理1.

2 先验估计

命题1(先验估计).假设ν(x，t)是问题(5)在X(0，T)上的解，则存在一与T无关的正常数C使得ν(x，t)满足如下估计:

证明 首先将式(5)第一式两边同乘ν并将所得结果在[0，1]×(0，t)上分别对x，t求积分可得

其中

因

由式(2)可知I5+I6≥0成立.

其中θ1介于g与φ之间.

运用两次分部积分可得

将以上各式代入式(9)，因f″(u)＞0，φx＞0，所以有

其次将式(5)第一式两边同乘νt并将所得结果在[0，1]×(0，t)上分别对x，t求积分可得

式(17)左边第三项为

由中值定理及引理1可知

将以上各式代入式(17)，由式(16)可得

将式(5)第一式两边关于求导，并将所得结果两边同乘得到

因此将式(24)在[0，1]×(0，t)上分别对x，t可得

类似于式(18)、(19)可知

将以上各式代入式(25)，再由式(16)得

因此由式(16)、(23)、(28)可知式(8)成立，从而证明了先验估计成立.

3 解的渐近收敛性

有了局部存在性及先验估计，通过连续性讨论能得到解的整体存在性，只需证明解的收敛性就能证明定理1.为证解的收敛性，先引入如下定理:

引理2[5]若

从而证明了解的收敛性，即证明了定理1.

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