一类对称函数的性质及其应用

刘清华，余 启，张 昱

（南华大学 数理学院，湖南 衡阳 421001）

1 定 义

Schur凸函数的概念由I.Schur于1923年引入，它不仅在建立解析不等式方面发挥着极大的作用，而且在统计学，经济学以及其它方面也有着许多重要的应用（详见Marshall和Olkin的专著［1－2］）。下面的定义可参见文献［2－5］。

对于向量x＝ （x1，x2，…，xn），把其分量排成递减次序后记为：x［1］≥x［2］≥ … ≥x［n］。

则称x被y所控制（记为x≺y）。

定义1.2 定义在集合Ω⊂Rn上的实函数φ称为Ω上的Schur凸函数，如果

在Ω上x≺y⇒φ（x）≤φ（y）。

如果对于任意的x≺y且x不是y的一个重排，有φ（x）＜φ（y），则称φ为Ω上的严格Schur凸函数。φ在Ω上为Schur凹（严格Schur凹）的，当且仅当－φ在Ω上是Schur凸（严格Schur凸）的。

判断函数f（x）为Schur凸函数，有下面的Schur条件。

定理1.3 设Ω⊂Rn是非空的对称凸集，函数f：Ω→R在Ω上连续且在Ω的内部Ω0可微，则f为Ω上的Schur凸函数当且仅当f为Ω上的对称函数，且对于所有x∈Ω0，

如果不等式（1.1）对于xi≠xj（1≤i，j≤n）是严格的，那么f为严格Schur凸的。

由于f（x）是对称的，则Schur条件（1.1）可简化为［2］

如果（1.2）对于x1≠x2是严格的，那么f为严格Schur凸的。如果不等式（1.1）或（1.2）反向，那么f为Schur凹的。

则称x被y对数控制，记为lnx≺lny.

定义1.5 设I是 （0，∞）的子区间［7］，函数f：In→ （0，∞）称为Schur几何凸的，如果在In上lnx≺lny⇒f（x）≤f（y）；函数f称为Schur几何凹的，如果In上lnx≺lny⇒f（x）≥f（y）.

定理1.6 设f（x）＝f（x1，x2...xn）为对称的［7］，且在In上有连续偏导数，那么f：In→ （0，＋∞）为Schur几何凸函数当且仅当

如果不等式（1.5）反号，则f为Schur几何凹的Marshall和Olkin在文献［2］中研究了函数

的Schur凸性问题，这里0＜x1＜1，i＝1，2，...n.

本文研究Ψ（x）的对偶形式：

其中，0＜x1＜1，i＝1，2，...n. 我们将讨论此函数的Schur凸性和Schur几何凸性问题，并利用“优化理论”建立一些解析不等式。

2 Ψk，n（x）的 Schur凸性

为此，我们分两种情形进行讨论。

情形1. 当k＝2时，直接计算可得

取对数并求导，可得

于是，当x1≠x2时，我们有

情形2. 当3≤k≤n－1时 ，我们不难得到

取对数并求导，得到

当x1≠x2时 ，由（2.4）和（2.5）可得

综合上述，定理得证。

类似定理2.1的证明，我们还可以得到下面的

特别地

当且仅当x1＝...＝xn时等号成立。

注：（2.7）为Mewman不等式［2，（2.8）为Shapiro不等式［3。这样，我们重新建立和推广了这些不等式。

当且仅仅当x1＝...＝xn时等号成立

注：如果在 （2.9）中取k＝1，可得著名的 Ky Fan不等式［1，p.5；4，p.363］：

当且仅当x1＝...＝xn时等号成立。

3.Ψk，n（x）的Schur几何凸性

定理3.1 设xi＞0，i＝1，2，...，n（n≥3），那么

（1）函数 Ψ1，n（x）在 0，（1）n是Schur几何凹的；

求导得

因此，当x1≠x2时，我们有

由定理1.6，Ψ1，n（x）在 （0，1 ）n上是Schur几何凹的。

情形1. 当k＝2时，由（2.2）和（2.3）可得

情形2. 当3≤k≤n 时，根据（2.4）和（2.5），直接计算可得

再根据定理1.6，Ψk，n（x）是Schur几何凸的。定理证毕。

证明： 利用定理3.1并注意到ln（G（x），...，G（x））≺ln（x1，....，xn），即可得到该推论。

［1］E.F.Beckenbach and R.Bellman.Inequalities［M］.Berlin：Springer－Verlag，1961.

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［3］匡继昌.常用不等式［M］.3版.济南：山东科技出版社，2004.

［4］D.S.Mitrinovic.Analytic Inequalities［M］.New York：Springer－Verlag，1970.

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［7］张小明.几何凸函数［M］.合肥：安徽大学出版社，2004.

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