低维动力系统混沌指标研究

胡 诚

(湖北民族学院理学院，湖北恩施445000)

混沌是自然界普遍存在的复杂运动形式，混沌系统内部极具复杂性、随机性和无序性［1］.虽然看起来无规律、不可预测，但实际上也有自己的运动规律，是一种无序又有序的行为.复杂动力系统由于参变量的个数和系统维数较高，暂无普适有效的方法揭示相空间结构.在低维系统尤其是平直时空中，混沌识别算法研究已经取得一些进展［2-5］.同时，由于混沌行为对初始条件极为敏感，在应用混沌识别算法之前必须提供高精度的数值结果［6］.

1 二维动力系统(庞加莱截面法)

二维系统中参变量的个数较少，而且由于稳定积分(哈密顿量)的存在，可以在平面内研究系统的相空间结构.庞加莱截面方法是在十九世纪末提出来的用于分析多变量自治系统，其原理是在二维相空间中选取适当截面(庞加莱截面)，此截面可以是平面也可以是曲面.该截面上对某一对共扼变量取为固定值.借助计算机将相空间的连续轨迹该截面的交点(截点)显示出来，这样就可以抛开相空间的轨道而得到关于系统运动特征的信息.本文讨论经典的Henon-heiles系统，其哈密顿形式为:

通过式(1)可以得到正则运动微分方程，借助速度单因子方法或者高阶辛算法［6］可以获得高精度的数值解.图1即为该系统在(y=0，Py＞0)条件下的庞加莱截面图.图1(左图)选择哈密顿常数为H=E=1/12，由于不考虑系统初始阶段的暂态过渡过程，从截面上的稳态图像出发，该截面是由一系列封闭曲线组成，可以判定运动是准周期的.随着能量逐渐增加，系统将表现出强烈的混沌特性，如图1(右图)所示，此时在截面上出现成片的密集点，而且有自相似结构.以上截面给出的所有轨道同时在该截面上的分布状况，对单条轨道，也可以单独显示出来，如图2所示.截面由三条轨道组成，黑色轨道的初始值为:x0=0，y0=0.55，px0=0.2417，py0=0，截面由 5 个小岛组成，是周期轨道.蓝色轨道的初始值为:x0=0，y0=-0.01344，px0=0.49982，py0=0，此时出现了一系列不连续的点，表现出弱混沌特征.红色轨道的初始值为:x0=0，y0=-0.016，px0=0.49974，py0=0，系统的有序运动完全被破坏，截面上出现大量的随机运动点分布，混沌现象比较剧烈.

图1 Henon-heiles系统庞加莱截面图，左边为H=E=1/12，右边能量值为H=E=1/6.Fig.1 Poincare sections of Henon-heiles system，the energy value for the left panel is 1/12，but for the right is 1/6.

图2 单条轨道庞加莱截面图，黑色为有序轨道，蓝色为弱混沌轨道，红色为强混沌轨道.Fig.2 Poincare sections for single orbit，black part stands for regular orbit，blue is for slowly chaotic orbit，and red is strong chaotic orbit

2 三维系统(快速Lyapunov指标)

庞加莱截面只能有效地显示自由度≤4的系统的有序和混沌行为，对于高维动力系统，至今尚无普适有效地方法.研究表明，Lyapunov指数是衡量两邻近轨道随时间平均分离比的指标，能够反映混沌的强度.相对而言，快速Lyapunov指标［5］要优于Lyapunov指数，是一种更为方便快捷的算法.快速Lyapunov指标要求在给定计算时间段内不采用重整化，也不对时间平均，而快速计算某个指标值.该指标的数值一般随时间变化，并且在这一限定时间内它虽然还没有收敛到终值，但对于混沌、拟周期、共振轨道和不动点，这一指标值将有很大不同，这样可以研究相空间的全局结构.快速 Lyapunov指标的公式［5］为:FLI(τ)=log10［ΔL(τ)/ΔL(0)］.

其中:ΔL(0)为初始时刻的固有距离，ΔL(τ)为经过时间τ之后的固有距离.FLI(τ)为时间τ时刻的快速Lyapunov指标.如果计算值随时间作指数式的偏离，则运动是混沌的.如果是直线式的增加，则为周期运动.

考虑以下三维动力系统，其哈密顿形式为:

与二维情况一样，首先通过四阶龙格库塔算法对上述运动微分方程积分.然后应用速度因子方法保持不变运动积分，使得各数值解不至偏离哈密顿量所固定的能量超曲面.最后计算两条轨道的快速Lyapunov指标，如图3 所示.两条轨道的速度和坐标初始值分别为:①x=y=z=0，px=0.1，py=0.347，pz=0;②x=y=z=0，px=0.115，py=0.347，pz=0.时间步长取为 τ=0.05.从图中可以明显看出，轨道(1)是周期性的规则轨道，轨道(2)的速度分量相对轨道(1)只有微小的变化，导致其运动是混沌的，这一点更充分说明了混沌对初始条件的极为敏感.为做对比研究，两条轨道的相空间图在图4给出，两者几乎没有分别，说明单从相空间分布是很难区分混沌存在与否，而快速Lyapunov指标可以帮助区分选择.

图3 混沌轨道和有序轨道的快速Lyapunov指标图Fig.3 Fast Lyapunov indicators for chaotic orbit and regular orbit

图4 混沌轨道和有序轨道的相空间图，两者几乎没有区别Fig.4 Phase space plot for regular orbit and chaotic orbit，there is no difference for them

3 结论

混沌现象的探测至今是一大难题.但是在平直时空，可以借助有效的识别算法探测全空间或单个轨道运动是否存在混沌现象.庞加莱截面法直观有效的给出二维四自由度的结构，准确地揭示周期、拟周期和混沌轨道.在三维或者更高维空间，推荐采用快速Lyapunov指标，该指标能充分体现初始值的微小偏离导致轨道运动通向混沌的特征，是目前最为有效的识别方法.

［1］ Lorentz E N.Deterministic Nonperiodic Flow［J］.J Atmos Sci，1963，20:130-134.

［2］ Froeschle C，Lega E.On the Structure of Symplectic Mappings.The Fast Lyapunov Indicator:a Very Sensitive Tool［J］.Celest Mech Dyn Astron，2000，78:167-195.

［3］ Voglis N，Contopoulos G，Efthymiopoulos C.Chaos in Relativity and Cosmology［J］.Celest Mech Dyn Astron，1999，73:1-16.

［4］ Binney J，Spergel D.Spectral stellar dynamics［J］.The Astrophysical Journal(ApJ)，1982，252:308-321.

［5］ Wu X，Huang T Y.Computation of Lyapunov exponents in general relativity［J］.Phys Lett A，2003，313:77-81.

［6］ Ma D Z，Wu X，Zhong，S Y.Effects of the cosmological constant on chaos in an FRW scalar field universe［J］.RAA，2009，9:1185-1191.