FD－SWE－II型驻波实验仪上弦振动的研究

熊小勇，蔡 伦

(湖北民族学院理学院，湖北恩施445000)

弦振动实验是大学物理实验课程的基本内容［1］，该实验直观、形象地给出了驻波波形，有助于加深学生对横波的产生、传播和驻波形成条件的理解.对弦振动进行研究时，频率过大时，形成驻波的振幅太小，驻波现象不够明显;频率过小时，形成驻波的振幅虽明显但所需弦线长度太长，通常会受到测量条件限制，不便测量.针对弦振动仪器实验改进的报道［2－3］也有不少，但是，都只是对波长的测量误差进行了实验仪器方面的改进.本文就驻波形成条件，固定弦线密度下弦线张力与波长之间关系，振动频率与波长之间关系，以及实验最佳频率和最佳张力进行了探讨.

1 理论推导

驻波实验常用一根拉紧的弦线来演示，弦线一端系着跨过定滑轮的砝码，另一端接在振动器(电动音叉)上.建立如图1所示坐标，当时间t=0时，设弦的初始位移和初速度均为零，振动器在弦线激起的谐振动方程为:

y(L，t)=A sin ωt

式中A为振幅，ω为谐振圆频率.这个问题的定解是泛定方程:

图1 驻波实验装置示意图Fig.1 Schematic diagram of standing wave experiment device

式(1)～(3)表明弦线振动的数学表示式是非齐次边界条件的二阶线性齐次偏微分方程，满足这个定解问题的波动方程［4］为:

式中:第一项是驻波函数表达式，第二项表示两端固定弦线上可能出现的驻波.一般情况下，一个驻波系统的振动是它的各种简正模式的叠加.简正模式的本征频率:

当振动源以某一频率激起弦线系统振动，如果此频率与系统的某个本征频率相同(或相近)，就会在弦线上产生共振弦线，弦线就会以该频率做大幅度的振动.在图1中，O点是反射点会出现波节，A点近似看成波节(此时振动器的振幅比弦线的振幅小得多)，振动器持续振动产生的定向能流补偿了振动过程中阻尼、吸收、透射产生的能量损耗，从而使弦线上产生持续稳定的驻波波形.

将υ=λ·f代入式(5)中，不难得出:

亦是只有当OA的长度L等于半波长的整数倍时，弦线上才会出现稳定的驻波波形.根据文献［5］张紧软绳中横波波速:

式中T为线绳所受张力，ρ为单位长度线绳的质量(即线密度).

为验证这一关系成立，可以在上式两端取自然对数，得:

式(8)给出了当固定弦线密度ρ，弦线振动形成驻波时，T、f、λ相互关系.

2 弦振动实验研究

实验中采用FD－SWE－II型弦振动实验仪(如图2)，弦线平均密度ρ=2.980×10－4kg/m，绳中张力T大小通过增加砝码来实现，弦长L通过可动滑轮支架来控制.

实验过程中，仔细调节弦长使弦线出现共振，依次尽可能出现n=1，2，3，4个波峰.然后用实验平台上的标尺测量弦长L，根据式(6)计算出波长λ，重复3次测量取其平均值.由于频率f越小，波长λ越大，弦线上波动现象不够明显，波长λ测量误差增大;而频率f越大，振幅越小，弦线上波长λ测量误差也会增大［6］.因此，实验中，T值设置在0.86～3.55 N，频率 f选取在90～125 Hz范围，测量的波长数据见表1.

图2 仪器结构图Fig.2 Instrument structure

2.1 验证波长与张力的关系

先将表1数据中张力T和波长λ取自然对数，然后通过Origin进行线性拟合出lnT－lnλ图线，拟合相关结果见表2.表2中，f为振源频率，k为拟合直线的斜率，Δk/k为拟合直线的斜率与式(8)中理论斜率0.5的相对误差，R2为拟合相关系数.

依据表2拟合结果可以看出，实验数据线性效果好，拟合相关系数均超过99.3%，斜率相对误差较小.在f=110 Hz时，斜率的相对误差仅为1.97%，测量数据线性效果较好，拟合相关系数R2为0.996.这一结果，比文献［7］中提到f=90 Hz时二次曲线图像效果更好.

2.2 验证频率与波长的关系

先将表1数据中频率f和波长λ取自然对数，然后通过Origin进行线性拟合出lnf－lnλ图线，拟合相关结果见表3.依据表3拟合结果可以看出，实验数据线性效果不够理想，拟合直线的斜率与式(8)理论斜率 －1的相对误差较大，这可能是可调频率数显机械振动源上数显频率未能得到校准产生的.但是，从拟合相关系数和相对误差来考虑，T=1.36N时lnf－lnλ线性效果最好，相对误差最小.砝码平均质量为25.236g，底座质量为37.778g，取恩施地区重力加速度为g=9.799 N/kg，T=1.36 N即是底盘加上4个砝码的重量.

3 结论

通过对弦线上产生驻波的理论推导可知，在弦长和张力满足一定条件下，当弦的某个本征振动频率与振动源频率相同(或相近)时，在弦上就能形成稳定的驻波，通过改变弦的张力，可以得到弦振动的不同简正模式.在固定线性密度的弦振动研究过程中，通过实验数据表明:①验证拉力与波长关系时，通过实验数据分析找到了棉线最佳实验频率为110 Hz，所得数据线性关系相对误差最小;②验证频率与波长关系时，实验结果拟合相对误差较大，最佳实验拉力为1.36 N(即底盘上放置四个砝码).通过以上结论，在今后弦振动实验过程中，可以更简单、更准确指导学生实验研究.

表2 不同频率下lnT－lnλ关系拟合结果Tab.2 The lnT－lnλ relations fitting results in the different frequences

表3 不同拉力下lnf－lnλ关系拟合结果Tab.3 The lnf－lnλ relations fitting results in the different tensions

［1］ 沈元华，陆申龙.基础物理实验［M］.北京:高等教育出版社，2003.

［2］ 易立志，左安友.弦振动的研究实验仪器的改进［J］.物理实验，2001，21(6):47.

［3］ 李尧，冯正南，卢海燕.弦振动实验装置的改进［J］.大学物理实验，2004，17(4):56－57.

［4］ 梁昆淼.数学物理方法［M］.4版.北京:高等教育出版社，2010.

［5］ 漆安慎，杜婵英.普通物理学教程:力学［M］.2版.北京:高等教育出版社，2005.

［6］ 刘东红.弦振动驻波分析［J］.大学物理实验，2002，15(1):13－15.

［7］ 张开明.弦振动研究［J］.太原师范学院学报:自然科学版，2010，9(4):96－99.