球面上Wirtinger不等式的一个几何应用

马 磊，李 妮

(1.广东石油化工学院师范学院，广东茂名525200;2.建始县第一中学，湖北建始445300)

经典Brunn-minkowski理论起源于1887年H.Brunn的论文和H.Minkowski开创性工作的实质部分，1934年Bonnesen和Fenchel的著名论著收集了己经出版的结果，R.Schneider的专著［1］是一部最近出版的优秀的参考书.Brunn-minkowski理论是Euclidean空间中向量的Minkowski线性组合和体积结合的产物，其精髓是结合体积的记号和基本的Brunn-minkowski不等式.它己成为凸性理论的中心，其应用涉及到物理学、医学、信息工程和数学的各个分支.特别地，凸体混合体积的不等式在Brunn-minkowski理论［2-4］中起到了关键性的作用.

2002年，Giannopoulos，Hartzoulaki和Paouris证明了一组关于凸体混合体积的Aleksandrov-fenche［5］型的不等式，2003年Fradelizi，Giannopoulos和Meyer对这组不等式作了进一步的发展，得到了一组与均质积分相关的不等式［6］.本文将从调和分析的角度对Fradelizi，Giannopoulos和Meyer得到的不等式给出一个简单的证明.

设 x=(x1，x2，…，xn)(xi＞0，i=1，2，…，n)为 n 维正实向量的全体，

为k阶初等对称的数，并规定E0(K)=1.

设 x，y 为正实向量，Marcus-lopes［7］证明了如下的不等式:

设A，B是正定对称矩阵，Ak，Bk分别表示从矩阵A，B中删除第k行与第k列的矩阵.Bergstrom［8］得到了不等式:

对于上述不等式，V.Milman猜想在混合体积理论是否也存在类似于式(1)和式(2)的不等式:

这里的Vk(K)，Vk(L)分别表示Rn中凸体 K，L的k阶混合体积.

在不等式(3)中，如果 K是Rn中任意凸体，L是Rn中的单位球，Giannopoulos、Hartzoulaki和 Paouris［5］证明了不等式(3)是正确的.当K，L为Rn中的凸体时，Fradelizi，Giannopoulos和Meyer证明了关于均质积分仅对 k=n-2，n-1 时是正确的［6］，即:

这里Wk(K)，Wk(L)分别表示Rn中凸体 K，L的k阶均质积分.

关于对偶的结合体积与对偶的均质积分李小燕与冷岗松［9］也得到了类似的结果.由于 Wn-1(K)是线性的且Wn(K)为单位球的体积，因此不等式(4)对于k=n-1的情形是显然的.本文主要利用球面上的Wirtinger不等式，研究了不等式 (4)中对于k=n-2的情形，即如下定理.

定理1 设K，L为Rn中两个C2光滑凸体，则有如下不等式成立:

等号成立当且仅当K与L位似.

1 预备知识

设Kn是欧式空间Rn中的紧致凸集族，B是Rn中的单位球.Kn中所有包含空内点的凸集叫做凸体，记作:Kn0，凸体M⊂Rn的体积记作:V(M).

对于 K，L∈Kn0，Minkowski加法定义为:K+L={x+y:x ∈K，y∈L}，K∈Kn0与常数λ∈R的乘积定义为:λK={λx:x∈K}.则Minkowski-steiner公式可表示为:

叫做 K 与 L的混合体积.特别地，V0(K，L)=V(K)，Vn(K，L)=V(L)，Vi(K，L)=Vn-1(L，K).

特别地，当L=B时式(5)可变为经典的Steiner公式:

称为凸体K的第i阶均质积分.特别地，nW1(K)为K的表面积，Wn(K)=V(B)=ωn为n维单位球 B的体积，(K)=(2/ωn)Wn-1(K)是凸体 K的平均宽度.

设K⊆Knt，K的支撑函数 hK(u)定义为 Sn→R的如下的数:hK(u)=max{u· x:x∈K}，u∈Sn-1.这里u·x表示Rn中u和x的内积.

由支撑函数的定义可知其满足以下性质:h(K+tB)(u)=hK(u)+t，∀t∈R+，h(K+L)(u)=hK(u)+hL(u)，h(λK)(u)= λhK(u)，∀λ≥ 0，h(K)(u+v)≤hK(u)+hK(v).

设 K，L⊆K0n，B 为单位球，如果记，则 V(K，L)可由 K，L 的支撑的数 hK(u)，hL(u)表示出来［10］:

其中:▽o为球面Sn-1上的梯度算子，dσ(u)为球面微元.

特别地，

由式(8)可知:

因此:

2 Wirtinger不等式的应用

引理1［10］(Sn-1上的Wirtinger不等式) 设F为Rn中定义在球面Sn-1上的C2光滑的数，若:

则:

其中:dσ(u)为球面做元，▽oF(u)为F(u)球面上的梯度算子.等号成立当且仅当F(u)为一次球面调和函数.

证明 由于F(u)为Sn-1上的C2光滑函数，设F(u)的调和展开式为:

由式(9)，可知 Q0=0，所以

定理2 设K，L分别是Rn中任意两个C2类的光滑凸体，则有如下不等式成立:

等号成立当且仅当K与L位似.

由不等式(10)可得:

［1］ Schneider R，Weil W.Zonoids and related topics，Convexity and Its Applications［M］.Basel:Birkhäuser，1983:296-317.

［2］ Burago Y D，Zalgaller V A.Geometric inequalities［M］.Berlin:Springer-Verlag，1988.

［3］ Stanley R P.Two combinatorial applications of the Aleksandrov-Fenchel inequalities［J］.J Combin Theory，1981，31A:56-65.

［4］ Santalo L A.Integral Geometry and Geometric Probability［M］.Addison Wesley Publishing Company，1976.

［5］ Giannopoulos A，Hartzoulaki M，Paouris G.On a local version of the Aleksandrov-Fenchel inequality for the quermassintegrals of a convex body［J］.Proc Amer Math Soc，2002，130:2403-2412.

［6］ Fradelizi M，Giannopoulos A，Meyer M.Some inequalities about mixed volumes［J］.Israel Journal of Math，2003，135:157-179.

［7］ Beckenbach E F，Bellman R.Inequalities［M］.Berlin:Springer-Verlag，1971.

［8］ Bergstrom H.A triangle inequality for matrices［J］.Den Elfte Skandinaviske Matematikerkongress.Trond-heim，1949.Oslo Johan Grundt Tanums Forlag，1952.

［9］ Li X Y，Leng G S.Some inequalities about dual mixed volumes of star bodies［J］.Acta Mathematica Scientia，2005，25B(3):505-510.