下卧基岩饱和地基在移动荷载作用下的动力响应

胡安峰，孙 波，谢康和

(浙江大学 软弱土与环境土工教育部重点实验室，杭州 310058)

土体在移动荷载作用下的动力响应研究在很多领域都有重要的意义。由于饱和土体是由土颗粒和水组成的两相介质，而且孔隙水的存在对移动荷载作用下土体内波的传播有很大影响，因此研究饱和土体在移动荷载作用下的动力响应时，引入饱和多孔介质的土体模型比线性弹性模型或Visco-Elastic土体模型更接近实际情况。Biot［1－2］开辟了对饱和多孔介质理论研究的先河。Burke和Kingsbury［3］获得了二维多孔饱和半空间在表面移动压力作用下的解析解。但他们的解没有考虑惯性项，所以不是真正的动力解。Siddharthan等［4］在忽略了水土耦合作用的情况下，求解了平面应变条件下饱和土体的动力响应问题。Theodorakopoulos［5］利用 Mei和 Foda［6］的理论，在平面应变条件下采用级数的方法研究了位于基岩上的有限层厚土体在运动荷载作用下的动力响应，但是他没有考虑土颗粒的压缩性。孙宏磊等［7］在平面应变条件下研究了移动荷载作用下横观各向同性饱和土体的动力响应问题。Cai等［8］研究了移动矩形荷载作用下饱和土体的动力响应问题。金波等［9－10］研究了匀速移动的振动荷载作用下半无限多孔饱和固体中产生的应力和孔隙水压力，并利用扩展的梯形求积公式获得数值解答。蔡袁强等［11］研究了下卧饱和土体的轨道系统在列车荷载作用下的动力响应问题。Xu等［12－13］分别研究了移动荷载作用下饱和成层土体的动力响应和下卧饱和成层土体的Euler梁的动力响应问题。

尽管不少学者在移动荷载作用下饱和土体的动力响应问题方面开展了相关的研究工作，但是这些研究主要把土体考虑成半空间或半平面，很少有考虑到下卧基岩的影响。但在实际工程中，饱和土层厚度总是有限的，一般到某一深度之下便为基岩。因此本文将地基考虑为有下卧基岩的饱和土体很有实际意义(见图1)。

本文针对这一模型，通过引入势函数并利用Helmholtz原理，再经过Fourier变换和逆变换，获得了移动线荷载作用下饱和地基的位移、应力、孔隙水压力的解答。最后通过快速逆傅里叶变化(IFFT)得到数值计算结果，详细分析了土颗粒的压缩性、孔隙水的压缩性、饱和土的剪切模量、孔隙率、渗透性、移动荷载速度和饱和土层厚度等参数对动力响应的影响。

1 控制方程

图1 问题的模型Fig.1 Geometry of problem

对于饱和土体，可采用饱和多孔介质动力问题的 Biot方程［1－2］。在原始方程中，Biot考虑了固液两相的惯性耦合，但在理论和实验中惯性质量ρa很难确定，所以在大多数的研究中，惯性耦合项经常忽略不计。此时Biot方程可以简化为如下形式:

其中ui和wi为饱和土土骨架位移和孔隙水相对于土骨架产生的位移表示对时间t的二阶导数，表示对时间t的一阶导数，λ和 μ为饱和土的Lame常数;α和M为考虑两相材料压缩性的Biot常数，一般0≤α≤1，0≤M ＜∞，对于完全干性材料有M=0，而对于不可压缩的材料有M→∞ 且α=1;ρ=nρf+(1－ n)ρs，n为土的孔隙率，ρs和 ρf分别为土骨架和孔隙水的质量密度;m=ρf/n，b为与内部摩擦力有关的参数，如果忽略介质的内摩擦，则b=0。

饱和土体的应力应变关系为:

式中 θ=ui，j，ζ=－ wi，j分别为土骨架的体积应变和流体的体积应变，δij为 Kronecker delta 符号，σij，p 分别为总应力分量和空隙水压力。

位移矢量 ui，wi(i=1，2)可以用六个势函数 φ1，φ2，φj(j=1，2)，Φj(j=1，2)来表示［10］，其中 φ 为标量，φj(j=1，2)，Φj(j=1，2)为矢量:

将式(5a)，式(5b)，代入式(1)，式(2)中，得到标量 φ1，φ2，φj(j=1，2)，Φj(j=1，2)的如下关系:

式中▽2为Laplace算子，

定义Fourier变换和Fourier逆变换为:

其中上标“^”表示对时间t做一次Fourier变换，上标“－”表示对空间坐标x做一次Fourier变换。对式(6a)～式(6f)应用式(7)中的Fourier变换，得到变换域内关于 φ1，φ2，φj(j=1，2)，Φj(j=1，2)的常微分方程，求解后再利用式(3)，式(4)可得到变换域内各响应分量的表达式:

其中:

{Δ}={ABCD EF}T，A，B，C，D，E，F 与z无关的未知量。

其中:

L1，L2，S对应于第一、二类纵波和横波的复波数。

2 边界条件及解答

考虑一有限厚度的单层饱和地基，表层有匀速运动的线性荷载(如图1)。其中 H为层厚，F为作用在地基表面的移动线性荷载，2L是线性荷载的长度，c，ω0分别为移动荷载的速度和频率，φ(x，y，z)为地基中任意一点在时间t的动力响应。边界条件为:

z=0时，

z=H时，

对上述边界条件进行式(7a)的Fourier变换后，代入方程(8)，得到频率－波数域的解，然后对上述解进行式(7b)Fourier逆变换，得到时间－空间域的解:

R1(z)，R2(z)分别为R(z)的前三行和后三行，即:

3 数值计算及讨论

在得到上述时间至空间域的解答后，要直接对其进行求逆Fourier变换较为困难，为此采用离散快速Fourier逆变换(IFFT)。截断积分范围，可令－16＜ξ＜16，取639 个积分点，可满足计算精度［14］。Theodorakopoulos在文献［5］中通过级数分解的方法得到不考虑土颗粒压缩性时的动力响应解，为了和他的结果进行对比，本文中的相关参数取值均与文献［5］中的相同(见表1)。其中为了考虑土体的粘弹性，

表1 土体参数Tab.1 Parameters of a soil

3.1 土颗粒压缩性常数α的影响

图2 土颗粒压缩性常数α对竖向位移的影响Fig.2 Effect of soil particles compressibility on solid vertical displacement

从图2中可以看到土颗粒压缩性常数α的变化对竖向位移的影响很小。而且在实际中，土颗粒本身的压缩性也较小。综合上述两个原因，土颗粒的压缩性在饱和土体的动力响应中可以忽略不计，这与文献［10］中的结论相同。而且当不考虑土颗粒的压缩性，即α=1时，本文中的控制方程与Theodorakopoulos［5］中的控制方程可以相互转换。为了便于比较，在本文以后的讨论中均取α=1。

3.2 流体体积模量β的影响

3.3 土体剪切模量μ的影响

图4给出了在不同剪切模量情况下竖向位移随着深度z的变化曲线图，从图中可以知道，剪切模量的减小时，竖向位移增大，此变化规律很容易理解，因为土体越软，位移便越大。

3.4 土体渗透系数k的影响

在Biot方程中，b是反映粘性耦合的参数，b=1/k，其中 k被称为动力渗透系数，单位为kg－1·m3·s。图5给出了不同的动力渗透系数对竖向位移的影响。从图中可以看到随着渗透系数的减小，竖向位移也相应的逐渐减小，但当渗透系数小于10－9时，竖向位移的变化不再明显。这种规律可以解释如下:当渗透系数减小时，空隙流体承担的荷载增大，即土骨架分担的荷载相应减小，所以土体位移减小。但当渗透系数减小到一定程度后，空隙流体相当于静止不动，此时土体的位移变化不再明显。

3.5 土体孔隙率n的影响

图3 流体体积模量β对竖向位移的影响Fig.3 Effect of porewater compressibility on solid vertical displacement

图4 土体剪切模量μ对竖向位移的影响Fig.4 Effect of shear modulus on solid vertical displacement

图5 土体渗透系数k对竖向位移的影响Fig.5 Effect of permeability on solid vertical displacement

图6给出了孔隙率n对饱和土体竖向位移的影响。从图6(a)中可以看到在剪切模量μ=108、荷载速度c=20 m/s，c=100 m/s时，孔隙率的改变对竖向位移的影响不明显。从图6(b)中可以看到μ=0.2×108，荷载速度c=20 m/s时，孔隙率的改变对竖向位移的影响仍不明显，但当荷载速度增大到c=100 m/s时，孔隙率的改变对竖向位移就有了明显的影响:孔隙率增大，竖向位移减小。这种现象可理解为在荷载速度增大到一定程度时，孔隙率的影响被激发了出来。由此可以类推出在μ=108时(图6(a))，当荷载速度增大到某一值(大于100 m/s)后，孔隙率的影响也可以表现出来。这与Theodorakopoulos在文献［5］的结论相同。

3.6 荷载速度c的影响

图7(a)给出了点(x=0，z=0，t=0)处的竖向位移随着移动荷载速度比c/cs的变化曲线图104.94 m/s为饱和土的剪切波波速。在速度较低时(小于0.4cs，竖向位移变化不大，当速度继续增加，竖向位移开始有了显著的增大。对于弹性土，0.9cs时竖向位移达到峰值，对于两种不同k值的饱和土，1.0cs(约等于饱和土的瑞利波速)时竖向位移达到峰值。在达到峰值之后，竖向位移又有了显著的减小。饱和土竖向位移峰值要比弹性土滞后一些出现是因为考虑了水土之间的耦合效应。同时还可以看到弹性土的竖向位移要比饱和土的竖向位移大，这是由于空隙水的存在分担了部分荷载，即土骨架相应承担的荷载减小造成的。

图6 土体孔隙率n对竖向位移的影响Fig.6 Effect of porosity on solid vertical displacement

图7(b)给出了地基表面的竖向位移随着移动荷载速度c、坐标x的变化曲线图。一方面可以看到如图7(a)中的竖向位移先增大后减小的现象。另一方面，可以看到在移动荷载作用下，地基的竖向位移关于x=0不对称，荷载速度越大，不对称越明显，峰值逐渐向x＜0方向移动。

图7(c)给出了移动荷载作用下，竖向位移不再关于x=0对称的原因。图中当k=∞时，则，即此时不考虑水土之间的粘性耦合项。从图中可以看到在 δ=0，k=10－9或 δ=0.1，k= ∞ 两种情况下，不对称的现象都存在。而当δ=0.1，k=∞时，即土体的黏滞性和水土之间的粘性耦合均不考虑时，从图中可以看到，竖向位移关于x=0完全对称。因此移动荷载作用下，竖向位移关于x=0不对称是由土体的黏滞性和水土之间的粘性耦合两个原因共同决定的。

3.7 饱和土层厚度H的影响

图8给出了点(x=0，z=0，t=0)处的竖向位移随着饱和层厚度的变化曲线图。从图中可以看到在移动荷载速度较低(小于0.6cs)时，当饱和层厚度增大到一定程度后，竖向位移趋于稳定，此时可把有下卧基岩的饱和地基简化为饱和半空间。但是值得注意的是，荷载速度越大，影响深度越大，比如在c=0时，H＞120 m竖向位移就趋于稳定，但在c=0.6cs时，H＞200 m竖向位移才趋于稳定。

图7 荷载速度c对竖向位移的影响Fig.7 Effect of load speed on solid vertical displacement

图8 饱和土层厚度H对竖向位移的影响Fig.8 Effect of the saturated porous layer thickness on solid vertical displacement

当荷载速度大于0.6cs后，随着饱和层厚度的增大，竖向位移先增大，当达到某个峰值后，竖向位移又显著的减小，然后在某一个值附近震荡。随着荷载速度的增大，峰值位置向饱和层厚度较小的方向移动。即此时在饱和层厚度较小时，竖向位移就能达到峰值。

由此可见，有下卧基岩的饱和地基在移动荷载作用下的动力响应不能简单的简化为饱和半空间时的情形，在荷载速度较低且饱和层足够厚时，二者没有明显区别。但当荷载速度超过一定值后，二者有明显的区别。

4 结论

本文通过引入势函数并利用Helmholtz原理，再经过Fourier变换和逆变换，获得了移动线荷载作用下饱和地基的位移、应力、孔隙水压力解答。最后通过IFFT变化得到数值计算结果，详细分析了饱和土的各参数以及移动荷载速度和饱和层厚度对动力响应的影响。得到如下结论:

(1)土颗粒压缩性常数α的变化对动力响应的影响很小，在实际中可以忽略不计。

(2)土体竖向位移均随着空隙流体体积模量、土体剪切模量的增大而减小。当土体渗透性增大时，竖向位移也增大。

(3)当荷载速度较小时，孔隙率对竖向位移的影响不大，但当荷载速度达到土体瑞利波速附近时，孔隙率对竖向位移的影响很明显。

(4)荷载速度对动力响应的影响较显著，当荷载速度较低时，竖向位移变化不大，但当接近瑞利波速时，竖向位移有显著的增加，超过瑞利波速后，又有显著的减小。由于考虑了土体的黏滞性和水土之间的耦合作用，竖向位移不再关于 x=0对称，峰值向x＜0方向逐渐移动，速度越大，不对称性越明显。

(5)有下卧基岩的饱和地基在移动荷载作用下的动力响应不能简单的简化为饱和半空间时的情形，在荷载速度较低且饱和层足够厚时，二者没有明显区别。但当荷载速度超过一定值后，二者有明显的区别。

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