例谈《高等代数》与《解析几何》的关联

2012-09-06宋元凤李武明

通化师范学院学报 2012年10期

宋元凤，李武明

（通化师范学院数学学院，吉林通化 134002）

《解析几何》与《高等代数》是不可分割的，《解析几何》是以《高等代数》的知识为主要研究工具的一门学科，没有《高等代数》这个主要工具，就没有《解析几何》这门学科;代数中讨论的很多对象是以几何为背景，又进一步推广出来的，尽管《高等代数》比较抽象，但是可以利用鲜明的几何背景使其更易于理解.

本文将从行列式与向量关系、线性方程组与面面关系、矩阵与二次曲线关系、矩阵与二次曲面关系四个方面阐述《高等代数》与《解析几何》的密切关系.

1 行列式与向量关系

当n=3时，它的几何解释为:

把行列式的行看作向量在直角坐标系下的坐标，设

即3级行列式的值恰好是平行六面体的体积，其中平行六面体的边为行列式的各行所形成的向量.

即因为 α2，α2，α3共面，所以 α2，α2，α3的混合积为0，这与上面3级行列式为0是一致的.

同理有 α3·（α2×α3）=0.

类似的，把行列式的列看作向量在直角坐标系下的坐标，也可得到类似的结论.

2 线性方程组与面面关系

2.1 齐次线性方程组与面面关系

设齐次线性方程组为

当n=3时，它就有了明显的几何意义，下面对此做具体说明.

当R（A）=3时方程组只有零解.从几何角度看，在空间直角坐标系下，方程组的解表示s个通过原点的平面只交于原点.

事实上，齐次线性方程组的s个方程可看成空间直角坐标系下的s个平面方程.

设

平面π1:a11x1+a12x2+a13x3=0，

平面π2:a21x1+a22x2+a23x3=0，

……

平面πs:as1x1+as2x2+as3x3=0，则它们对应的法向量分别是

n2=（a21，a22，a23），…，ns=（as1，as2，as3），因为R（A）=3，所以其中三个法向量线性无关，不妨设n1，n2，n3线性无关，所以平面π1与平面π2相交于过原点的直线l，设l的方向向量为v，则n1⊥v，n2⊥v，所以v垂直于n1，n2所在的平面.因为n1，n2，n3线性无关，所以v不垂直于n3，即直线l不在平面π3上，所以平面 π1，π2，π3的交点只有原点，因为 π1，π2，…，πs都过原点，因此平面 π1，π2，…，πs的交点只有原点.

当R（A）=2＜3时，方程组的基础解系中解向量个数为1，设为η，方程组的全部解为kη，k为任意常数.

当R（A）=1＜3时，方程组的基础解系中解向量的个数为2，设为η1，η2方程组全部解为k1η1+k2η2，k1，k2为任意常数.

从几何上看，因为R（A）=1，所以原方程组的所有方程都表示同一个平面，因而方程组的解向量都在平面π1:a11x1+a12x2+a13x3=0上，这与方程组的全部解为k1η1+k2η2，k1，k2为任意常数是一致的，即所有解在η1，η2所确定的过原点的平面上.

2.2 非齐次线性方程组与面面关系

设非齐次线性方程组为

当n=3时，它就有了明显的几何意义，下面对此做具体说明.在文献［2］中作者已经阐述的很全面了，下面从另一个角度阐述.

事实上，非齐次线性方程组的s个方程可看成空间直角坐标系下的s个平面方程.

设

当R（A）=R（珔A）=3 时，从几何上看，这s个平面只有一个交点γ0.

当R（A）=R（珔A）=2时，方程组的全部解为η0+kη，k为任意常数，其中η0为非齐次线性方程组的一个特解，η为它的导出组的一个基础解系.从几何上看，这s个平面相交于一条直线，我们知道它的导出组的解是一条过原点的直线，而这两条直线是互相平行的.即平面π1，π2，…πs的交线是过原点的直线l，而直线l沿着 η0平移就得到平面 ψ1，ψ2，…，ψs的交线.

当R（A）=R（珔A）=1时，方程组的全部解为η0+k1η1+k2η2，k1，k2为任意常数，其中 η0为非齐次线性方程组的一个特解，η1，η2为它的导出组的一个基础解系.从几何上看，这s个平面相交于一个平面，它的导出组的解是一个过原点的平面，而这两个平面是平行的.即平面 π1，π2，…，πs相交于过原点的平面π，而平面π沿着η0平移就得到平面ψ1，ψ2，…，ψs的交点轨迹.

当R（A）≠R（珔A）时，方程组无解.从几何上看，易知，至少有两个平面是平行的，所以这s个平面无交点.