动圆探索型问题赏析

☉江苏省睢宁县梁集中学 田步刚

动圆问题是初中数学常见问题，近几年在各地中考试卷中也经常出现.由于此类试题灵活性较强，涉及的知识面较广，对学生的思维能力要求较高，常常令学生束手无策.因此，如何正确快速地求解成为学生学习中的难点.本文特选近几年各地数学中考试题举例如下.

例1 如图1，点A，B在直线MN上，AB=11cm，⊙A，⊙B的半径均为1cm.⊙A以每秒2cm的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（cm）与时间t（s）之间的关系式为r=1+t（t≥0）.

（1）试写出点A，B之间的距离d（cm）与时间t（s）之间的函数表达式.

（2）问点A出发后多少秒两圆相切.

分析：由题意可知，A，B的距离越来越小，直至两点重合，而后两点距离逐渐增大.故要进行分类讨论.两圆相切意味着可以内切，也可以外切，因此，解决此题的前提是认真审题.

解：（1）当0≤t≤5.5时，函数表达式为d=11-2t；

当t＞5.5时，函数表达式为d=2t-11.

（2）两圆相切可分为如下四种情况：

①当两圆第一次外切，由题意可得11-2t=1+1+t，t=3；

③当两圆第二次内切，由题意可得2t-11=1+t-1，t=11；

④当两圆第二次外切，由题意可得2t-11=1+t+1，t=13.

例2 一条抛物线y=x2+mx+n经过点（0，3）与（4，3）.

（1）求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标.

（2）现有一半径为1、圆心P在抛物线上运动的动圆，当⊙P与坐标轴相切时，求圆心P的坐标.

（3）⊙P能与两坐标轴都相切吗？如果不能，试通过上下平移抛物线y=x2+mx+n使⊙P与两坐标轴都相切（要说明平移方法）.

分析：这是二次函数与圆的综合题，这是各地中考试卷中压轴题的常见类型，难度较大.首先要做好基础工程——正确求得二次函数解析式；第（2）问中与坐标轴相切是一个陷阱，必须想到既可与y轴相切，也可与x轴相切，因此也要分类讨论！

解（1）因为抛物线过（0，3），（4，3）两点，

所以抛物线的解析式是y=x2-4x+3，顶点坐标为（2，-1）.

（2）设点P的坐标为（x0，y0）.

当⊙P与y轴相切时，得|x0|=1，所以x0=±1.

由x0=1，得y0=12-4+3=0；由x0=-1，得y0=（-1）2-4（-1）+3=8.

此时，点P的坐标为P1（1，0），P2（-1，8）.

当⊙P与x轴相切时，得|y0|=1，所以y0=±1.

由y0=1，得

由y0=-1，得x02-4x0+3=-1，解得x0=2.

（3）由（2）知，不能.

抛物线y=x2-4x+3上下平移后的解析式为y=（x-2）2-1+h，

若⊙P能与两坐标轴都相切，则|x0|=|y0|=1.

即x0=y0=1或x0=y0=-1或x0=1，y0=-1或x0=-1，y0=1.

取x0=y0=1，代入y=（x-2）2-1+h，得h=1.

所以只需将y=x2-4x+3向上平移1个单位，就可使⊙P与两坐标轴都相切.

小结：通过以上两例可以看出，解决动圆探索型问题的过程比较复杂，运用的数学思想比较丰富.解题的原则是以静制动，动中找静，力争达到事半功倍的效果.