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初中数学解题中常见错误案例分析

2012-08-28安徽省马鞍山市外国语学校司擎天

中学数学杂志 2012年16期
关键词:圆柱体实数题意

☉安徽省马鞍山市外国语学校 司擎天

初中数学解题中常见错误案例分析

☉安徽省马鞍山市外国语学校 司擎天

在数学解题中,学生表现出的错误是多种多样的,概括起来主要有知识性错误、逻辑性错误、心理性错误和策略性错误等.本文试图通过案例,分析错误原因,明晰错误类型,提高防错能力.

一、知识性错误

知识性错误主要是由数学知识上的缺陷所造成的错误,如误解题意、概念不清、忽视公式、定理成立的条件、记错法则、用错定理等.

1.不能正确理解题意

例1 (2005年贵阳)如图1,一圆柱体的底面周长为24cm,高AB为4cm,一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程大约是( ).

A.6cm B.12cm C.13cm D.16cm

故选C.

图1

图2

这种解法的错误是没有理解题意.题目的条件是“沿着圆柱体的表面爬行”而不是“沿着圆柱体的侧面爬行”.事实上,由点A到点C有两类路径:一、只走侧面;二、既走侧面又走底面.

解法2:如图3,将圆柱的侧面展开为矩形,上底面展开为母线AB上方的圆.则有:

图3

也并非l2一定小于l1.若将上题中的圆柱体底面周长改为16cm,可得l2>l1.

又由于底面展平有开放性且蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的路径爬行到点C有无数条路径.如图4,设蚂蚁沿A→D→C,其中AD是侧面上的最短距离,DC是底面上的最短距离.

图4

设圆心角∠BOD=α,底面圆的半径为r,显然0≤α≤π,则B(D=rα.于是:

显然上列两种解法都不对,解法1是因为不能正确理解题意,把“表面”当“侧面”而出错;解法2是因为分类不全而导致逻辑性错误,出错的根本原因还是这道题超标.

由于不能正确理解题意而致错的普遍存在于阅读理解题、新定义题、应用题等.

2.忽视公式、定理成立的条件

错误原因是忽视了等比定理成立的条件:分母之和不等于0.

二、逻辑性错误

逻辑性错误主要是违反逻辑规则所产生的推理上或论证上的错误.如预期理由、不能推出、偷换概念、循环论证、分类不全、充要条件错乱等.

1.预期理由(论据的真实性有待于证明)

例3 求证:任意三角形为等腰三角形.

已知:△ABC为任意三角形.

求证:AB=AC.

证明:作∠A的平分线t与BC的中垂线l交于点O,连接BO、CO,作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F(如图5),则OE=OF.于是Rt△AOE S Rt△AOF,所以AE=AF.

同理Rt△BOESRt△COF,所以BE=CF.故AB=AC.

此处“∠A的平分线t与BC的中垂线l交于点O”其真实性有待于证明,称之为“预期理由”.若AB=AC,则t与l重合;若AB≠AC,则t与l的交点在△ABC的外部.

2.偷换概念(违反同一律)

例4 已知m为有理数,问k为何值时方程x2-2(3m+1)x+(8m2+2m-3k)=0的根是有理数.

错解:要使方程的根是有理数,它的判别式

Δ=[2(3m+1)]2-4(8m2+2m-3k)=4(m2+4m+1+3k)必须是完全平方式,也就是必须使关于m的方程m2+4m+1+3k=0有两个相等的实根.于是Δ′=42-4(1+3k)=12(1-k)=0,

所以k=1.

3.分类不当(分类有重复或遗漏)

例5 平面直角坐标系内有点A(1,1),请在x轴上找点P,使得△AOP为等腰三角形,并求出点P的坐标.

错解:如图6,易找到满足条件等腰直角三角形AOP的P点的坐标为(1,0)和(2,0).

分析:对于等腰△AOP,按底边我们应分三种情况考虑:

图6

(1)当OA为底时,则OP=AP,此时点P是OA的中垂线与x轴的交点,P(1,0);

(3)若A为顶点,则AO=AP,此时点P是以A为圆心,AO为半径的圆与x轴的交点,P(2,0).

4.循环论证(论据的真实性依赖于论题)

例6 已知△ABC中,AD为∠A的平分线,BD>DC,求证:AB>AC.

证明:如图7,在AB上取点E,使AE=AC,连接DE.

因为AD平分∠A,所以△AED S△ACD,从而∠AED=∠C.

又因为∠AED>∠B,所以∠C>∠B.故AB>AC.

分析:证明中在AB上取点E,使AE=AC,已经承认了AB>AE=AC.这相当于从AB>AC出发,证明AB>AC,等于什么也没证.

5.不等价变换(充要条件错乱)

例7 解方程x2=3x.

分析:学生习惯在等式两边同除以x,得x=3.

显然x=3是x2=3x的充分但非必要条件,解法错误.

例8 已知方程x2+(m-2)x+5-m=0的两根都大于2,求实数m的取值范围.

图7

图8

因为方程x2+(m-2)x+5-m=0的两根都大于2,所以

三、心理性错误

心理性错误是由于某些心理原因而产生的错误.如负迁移、潜在假设,以及看错题、抄错题、丢三落四、慌乱急躁、紧张焦虑等.

1.负迁移

受到解分式方程的影响,把分式运算当成了解方程.

这里可以“错”中找“对”,利用错解中的合理成分,化腐朽为神奇.

例10 如果关于x的不等式3x-m<0的正整数解是1、2、3,求m的取值范围.

错解:根据题意将x=1、2、3分别代入不等式3x-m<0,得m>9.

分析:将方程的解迁移到不等式上,导致对条件“正整数解是1、2、3”理解的偏差,从而将另一层含义“大于或等于4的整数不是该不等式的解”忽视了.

故9<m≤12.

图9

正解2:(“错”中找“对”)

由已知x=3是不等式3x-m<0的正整数解,而x=4却不是,所以 3×3-m<0,

2.忽视隐含条件

解题过程中因局部满足感的驱使,常常忽视隐含条件.

错解:因为原方程有两个不相等的实数根,

分析:由于忽视隐含在题目中的条件k-1≥0,即k≥1,故出现错解.

例12 已知二次函数y=2x2-4x+1,求当0≤x≤5时,y的变化范围.

忽视了对称轴在区间内这一隐含条件而致错,正解应是-1≤y≤31.

3.潜在假设

例13 下面各行数字中,哪一行既含有某个整数的平方,又含有另一个整数的立方( ).

错解:在所出现的数字2,3,4,5,6,7,8,9中,只有8是整数的立方,4,9是整数的平方,故不含8的A、D、E首先可以排除.又C中4是2的平方,8是2的立方,“平方”、“立方”都是2,与“含有某个整数的平方,又含有另一个整数的立方”不符,故选B.

事实上,-2的平方也等于4,所以,选择B、C都成立,这种错误是由于心理原因造成的潜在假设或丢三落四所致.

有时,几种错误也会同时出现.

例14 在△ABC中,AD是高,且AD2=BD·CD,那么∠BAC的度数是( ).

A.小于90° B.等于90° C.大于90° D.不确定

错解:如图10.

图10

图11

这道题没有给图,解答默认了点D在BC上,若点D在BC外(如图11),则有∠BAC<90°,所以正确答案应是D.由于默认了“点D在BC上”得出一个假命题,有知识性错误;分类不全又有逻辑性错误;而“默认”本身又有心理性原因——潜在假设.

四、策略性错误

策略性错误主要是解题方向上的偏差,造成思路受阻或解题长度过长,存在多余的思维回路.

1.缺乏整体观念

例15 有甲、乙、丙三种货物,若购甲3件,乙7件,丙1件,共需3.15元;若购甲4件,乙10件,丙1件,共需4.20元.现在购甲、乙、丙各一件共需多少元?

然后试图单独求出x、y、z,发现两个方程中有三个未知数,感到条件不足,而题目中又不可能再列出第三个方程,只好放弃.这是由于缺乏整体观念,导致解题策略上的方向偏差.如果避开x、y、z这些非必要的成分,将x+y+z看成一个整体,化上述方程组为:

所以a、b是方程②的根.

分析:由④先解出α、β,然后代入⑤又消去α、β,解题长度过长,存在多余的思维回路.⑥式进行了两根之和、两根之积的运算,让我们联想到用韦达定理代替求根公式.

证明2:把①化为标准形式

⑦代入⑧得x2-(a+b)x+ab=0,所以方程②的根为:x=a,x=b.

分析:先求出α+β,αβ,然后代入⑧消去α+β,αβ.多余的思维回路仍未消除!

整体上看条件与结论之间具有对称性.

所以(x-α)(x-β)+cx=(x-a)(x-b).即a、b是方程②的两个根.

2.不善于从反面思考

例17 已知三个方程x2+mx-m=0,x2+2mx-3m=0,x2+(m-1)x+m2=0,至少有一个方程有实数根,求m的取值范围.

分析:若从正面考虑,要列7个不等式组,耗时、耗力,容易出错.题设的反面是三个方程都无实数根,于是有:

即当-3<m<-1时,三个方程都没有实数根,因此当m≥-1或m≤-3时,三个方程中至少有一个方程有实数根.

3.不能恰当地转化问题

例18 若平行直线EF、MN与相交直线AB、CD相交成如图12所示的图形,则共得同旁内角( ).

A.4对 B.8对 C.12对 D.16对

解:分别取出AB、CD,得出2个“三线八角”基本图形;再取出EF,可得到3个“三线八角”基本图形,同样取出MN也得到3个“三线八角”基本图形.一共有8个基本图形,而每个基本图形都有2对同旁内角,因而共有16对同旁内角.选D.

如果直线条数增加,这种解法的局限性就立即暴露出来,题目难以做对.

例19 如图13,l1与l2为相交直线,l3与l4为平行直线,l5与l6也为平行直线,问这6条直线组成多少对同旁内角?

例20设直线l1、l2、…、lk(k≥3)或相交或平行,其中li上有ni个交点(ni≥0),则这k条直线组成的图形中,有多少对同旁内角?

分析:难以做对的原因是不能将问题转化.我们注意到在“三线八角”中,关键是截线c(如图14),当a、b越来越短时,并不影响我们对“三线八角”的认识.不妨认为a、b收缩为截线c上的两点,这样一个“三线八角”的基本图形就对应一条线段,求基本图形的个数就转化为求线段的条数.

图12

图13

图14

例18另解:AB、CD上均有3条线段,EF、MN上均有1条线段,所以共有8条线段,对应8个“三线八角”的基本图形,每个基本图形有2对同旁内角,共有16对同旁内角.

事实上,当学生的认知结构不能同化他所接触的题目时,就会发生解题错误,而认知结构包括知识结构和认识结构两个方面.所以,在教学中我们除了注重完善学生的知识结构外,还要注重完善学生的认识结构.

1.戴再平.数学习题理论[M].上海:上海教育出版社,1996.

2.罗增儒.数学解题学引论[M].西安:陕西师范大学出版社,2008.

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