利用几何画板有效呈现和解决问题

●陈寒极 (慈溪中学 浙江慈溪 315300)

高中数学课程标准指出：高中数学课程应提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，尽可能使用科学型计算器、各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现.

而几何画板可以帮助我们解决一些问题.在日常教学中，结合几何画板的教学功能，在一些具体的教学环境下，教师可以很好地实现教学目标.以下笔者根据自己的经验，谈谈几何画板在数学教学中的使用.

1 利用几何画板准确作出图像

例1 如图1，已知抛物线C：x2=4y.

(1)过焦点F且斜率为1的直线与抛物线相交于点C，D，求CD的长度.

(2)直线y=2与抛物线C相交于点M，N，点A，B在抛物线上.

①若∠BMN=∠AMN，求证：直线AB的斜率为定值;

图1

高中学习的所有函数，基本上都可以通过几何画板解决，因此诸如此类的函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等问题，通过图形都可以较为迅速地得到解决.

2 利用几何画板有效呈现问题

当解题没有思路，当手工画图遇到困难时，几何画板可以指引我们正确的前进方向.

例2 如图2，已知曲线C：y=x2与直线 l：xy+2=0 交于点 A(xA，yA)和 B(xB，yB)，且 xA＜ xB.记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域(含边界)为D.设点P(s，t)是L上的任一点，且点P与点A，B均不重合.

(1)若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程;

(2009年广东省数学高考理科试题)

图2 图3

例3 已知曲线C1：y=x3-3x，向右平移u个单位，向下平移v个单位，得到曲线C2，如果对任意u＞0，C2，C1至多只有一个交点，那么v的取值范围为_______.

分析从代数角度看：方程

至多只有一个解，整理得

下面求y=-u3+12u(u＞0)的最大值，利用导数可得：当u=2时，ymax=16，注意到u＞0的任意性，得 v≥4.

从图形角度看：利用几何画板作图，设置参数并观察图形的变化，可得到答案.

步骤1 画出C1：y=x3-3x的图像，点击“图表”、“新建函数”、“绘制函数”.

步骤2 设置参数 u，v，画出 y=(x-u)3-3(x-u)-v的图像.

步骤3 生成参数的动画，选择“编辑——操作类按钮”，分别设定参数u，v的变化范围，在动画中可得v的取值.

步骤4 这类问题的一般解法：找出2个极值点，求出它们差的绝对值，即v的最小值.

3 利用几何画板解决视觉易错题

图4

新活力满足新需求。改革开放之初，我国社会处于阅读严重匮乏的书荒年代。1977年我国出版图书仅12886种，印数33.08亿册，发行网点6.4万个。到2017年，图书品种已达45万种，总印数92亿册，图书发行网点16万个。[5]40年间新闻出版产品市场极大丰富，人民群众的基本阅读需求得了到较好满足。

|AP|-|BP|≈|A1P|-|BP|=-4，即可得值域.

本题也可以通过导数求解，但解题的篇幅较大、过程繁琐，有兴趣的读者不妨一试.

例5 平面上的点P∈{(x，y)|(x-2cosθ)2+(y-2sinθ)2=16(θ∈R)}，则满足条件的点 P 在平面上所组成的图形面积为 .

本题极易做出错误答案是36π，其正确答案是32π.下面通过几何画板寻找答案：如图5，首先确定圆心位置，在圆x2+y2=4上取一个点，画一条线段(长度为4)作为半径，点击“构造”、“以点和半径绘圆”，然后点击“追踪圆”，选取小圆上的点，选择“编辑——操作类按钮”，逆时针方向绕圆 x2+y2=4以中速运动，然后“确定”，会出现一个动作按钮，点击这个动作按钮就可以得到点的集合和它相对应的图形，可以得到答案为36π-4π=32π.

为了更好地理解题意，可以作如下变式：

变式1 若 P∈{(x，y)|(x-2cosθ)2+(y-2sinθ)2=4(θ∈R)}，则满足条件的点P在平面上所组成的图形面积为_______.

图5

变式2 若 P∈{(x，y)|(x-2cosθ)2+(y-2sinθ)2=25(θ∈R)}，则满足条件的点 P在平面上所组成的图形面积为_______.

变式3 若 P∈{(x，y)|(x-2cosθ)2+(y-2sinθ)2=1(θ∈R)，则满足条件的点P在平面上所组成的图形面积为_______.

4 利用迭代解决微积分近似求和问题

迭代是几何画板中一个很有趣的功能，它相当于程序设计的递归算法，通俗地讲就是用自身的结构来描述自身.迭代：按一定的迭代规则，从原象到初象的反复映射过程.原象：产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”.初象：原象经过一系列变换操作而得到的象，与原象是相对概念.

例6 一个正方形的迭代，得到一个无穷递缩等比数列.

步骤 (1)画点 A，B，利用旋转变换得到正方形ABCD.

(2)在线段AB上取一点E，依次选择点 A，B，E，点击“变换——标记比例”;双击点B，以B为中心，选中点C，选择“变换——缩放命令”，在BC线段上按照标记比例得到F.

(3)点击 A，B，选择“迭代”，A→E，B→F，选择迭代次数(如8次)，得到迭代图形(如图6所示).

例7 人教版《数学》必修5第57页例3及选修2-2曲边梯形面积，采用“分割、近似代替、求和、取极限”的方法来理解定积分的概念.下面介绍采用几何画板进行迭代操作，进行动态理解(如图7所示).

图6

图7

(1)执行“图表”——“绘制新函数”命令，作出y=x2的图像.

(2)在x轴上任意作2个点A，B.

(3)执行“图表”——“新建参数”命令;打开“新建参数”对话框，输入名称“n”，值为“4.0”，单击“确定”，画板上出现参数式“n=4.00”.在参数式上右击选“属性”命令，打开“参数的属性”对话框，在值的选取卡中设置其精确度为“单位”，单击“确定”，参数式变成“n=4”.

(4)计算“n-1”，把其精确度设置为“单位”，得到“n-1=3”，计算“”，并设置其精确度为“十万分之一”.

(7)依次选择“n=4”、“A”和“n-1=3”，按住“shift”键，执行“变换——迭代”，打开“迭代”对话框，原象“n”的初象是“n-1”，原象 A的初象是B'，单击“迭代”.这样就可得到一系列矩形，用来逼近曲边梯形的面积.选中表达式“n=4”，按数字键盘上“+”键，就能生成更多的矩形了.

通过位置A，B'的变化，及其迭代次数的变化，可以较好地理解微积分的基本思想：分割—近似代替—求和—取极限，随着分割越来越细，所有矩形面积之和无限接近所求面积.

通过几何画板，我们可以准确地作出图形，帮助教师更好地展现问题，也帮助学生更好地理解问题.通过动态的图形变化，形象地寻找答案，从而在学生脑海中留下深刻的印象，同时也帮助教师和学生更好地理解题目的隐含背景，从而对该题进行有效的推广，提高解题效率，以及更好地认识数学.

［1］ 徐章韬，梅全雄.超级画板的程序vs几何画板的迭代［J］.数学通讯：教师版，2011(10)：41-46.