贝塞尔函数在求解变系数微分方程的应用①

赵忠奎， 曹丽霞

(东北石油大学数学科学与技术学院，黑龙江大庆163318)

1 问题提出

在常微分方程中，关于二阶常系数线性微分方程的可解性及解的结构，有着详尽的讨论.而对于变系数的情形，除了几种特殊类型的方程以外，关于其解法的讨论尚不多见.现在，在常微分方程的研究中，虽然已经出现了许多引人注目的专题，但对于方程的解法的探讨，仍是十分重要的课题［1］.

本文给出了一类二阶变系数线性微分方程，利用未知函数的线性变换转化虚宗量的贝塞尔方程来求解，其通解用虚宗量的贝塞尔函数表达式表示出来.

考虑如下二阶变系数线性微分方程

其中G(x)是已知可微函数，n为实数，λ为不等于零的实数.

2 方程求解

来求解方程(1)，经适当未知函数的线性变换能化为虚宗量的贝塞尔方程.事实上，作变换［2］

将函数y换成u

把它代入方程(1)，便得到以u为未知函数二阶线性微分方程

再作变换

并记

则得到

方程(4)是以v为未知函数虚宗量的贝塞尔方程［3］

从而，得到方程(4)的通解为

当n不为整数时，

当n为整数时，

这里，In(t)，I－n(t)为第一类虚宗量的贝塞尔函数，Kn(t)为第二类虚宗量的贝塞尔函数［4］

其中

(n=1，2，3，…γ 为欧拉常数)

由(5)(6)式可得方程(3)的通解为

当n不为整数时

将(7)(8)式分别代入(2)式便得到微分方程(1)的通解为

当n不为整数时

当n为整数时

3 举例应用

下面举两个例子说明这种可解类型的应用

例1 解方程，

解 将方程变形成为

方程(10)便是方程(1)的类型，于是作变换

代入方程(10)，得到

则得到

由于n=2为整数，根据(5)式得到方程(13)的通解为

由(14)式得到方程(12)的通解

将(15)式代入(11)化简整理便得到原方程(9)的通解为

例2 解方程

解 将方程变形为

方程(17)便是方程(1)的类型，于是作变换

代入方程(17)，得到

则得到

其中

由(21)式得到方程(19)的通解

将(22)式代入(18)式化简整理后便得到原方程的通解为

4 结束语

从上面的讨论和应用可以看出，根据虚宗量的贝塞尔函数的性质，当n为半奇数时，方程(1)的解为初等函数;当n不为半奇数时，方程(1)的解为用虚宗量的贝塞尔函数表达式表示出来的级数形式.

［1］王守田 关于二阶变系数线性常微分方程的转化问题［J］.齐齐哈尔师范学院学报(自然科学版)，2012，17(5):7－10.

［2］姬志飞 浅析二阶齐次线性变系数微分方程一个可积类型［J］.应用数学与计算数学学报2006，20(1):125 －128.

［3］王元明.数学物理方程与特殊函数［M］.北京:高等教育出版社，2004.1:130 －145.

［4］何淑芷.数学物理方法［M］.广州:华南理式大学出版社，1994.8:251 －265.