欠定盲分离方法预报水下双层圆柱壳辐射声场

陶襄樊，陈美霞，魏建辉

(华中科技大学船舶与海洋工程学院，湖北 武汉 430074)

0 引言

围绕弹性结构振动和辐射声场预报这一问题，国内外学者进行了广泛而深入的研究。目前主要的预报方法大致可以分为基于模态的方法、基于近场声全息的方法以及基于物理声学的方法等。

文献［1］对声辐射模态作了深入研究，并利用声辐射模态对平板的辐射声场进行了重构。文献［2］以简支矩形板为研究对象，分别运用振动模态和声辐射模态对其辐射声功率进行了预报，并比较了2种模态展开方法对传感器数目的要求。文献［3］忽略声波的波长对结果分辨率的影响，提出了近场声全息技术。文献 ［4］以1个无限大障板简支的薄板为研究对象，通过Helmholtz波动方程最小二乘法得到声压的球面波函数表达式，对简支薄板的辐射声场进行预报，并与解析法结果进行对比。文献［5］对3种主流的近场声全息技术的算法进行了分析和对比，综述近场声全息发展的现状。文献［6］从物理声学的角度，基于平面波假设直接建立表面声压与声速的简单关系，避免了Helmholtz积分方程及其逆矩阵的求解，实现了高频范围内辐射声场的快速预报。文献 ［7］以声场叠加原理为基础，根据声传递特性直接建立结构表面振动与辐射声场间的传递关系提出了单元辐射叠加法，在更宽的频率范围内实现了结构辐射声场的快速近似预报。

通过结构表面M个测点的振速及结构前N阶模态求解模态参与因子，是基于振动模态叠加原理预报结构振动和辐射声场的基础。现有的相关研究中，为使方程有唯一解，一般在M≥N的情况下求解模态参与因子，从而在N的值较大时需要布置非常多的传感器。为解决这一问题，本文通过充分考虑模态参与因子向量自身的稀疏特性，提出了预报结构振动和辐射声场的欠定盲分离方法，实现在M＜N的情况下，对水下双层加筋圆柱壳速度场的重构，并以重构出的速度场作为边界条件，运用边界元方法对水下双层加筋圆柱壳的辐射声场进行预报。

1 理论分析

1.1 模态叠加原理

对于水下弹性结构的振动响应，由结构干模态叠加原理［8］，结构振动位移响应向量在频域中的解可表示为

式中:φr为真空中结构的第r阶振型;ξr为结构的第r阶模态参与因子。将式(1)表示成矩阵的形式:

式中:［Φ］为结构在真空中的固有模态矩阵，称为干模态，可以看成是结构在空气中的模态矩阵;［ξ］为模态参与因子向量。

对于水下双层加筋圆柱壳结构，若将其离散为n自由度系统，由式(2)可得，结构表面法向振动速度场可表示为

由模态叠加原理［9］可知，高阶模态对结构振动响应的贡献很小，所以可采用模态截断的方法，忽略高阶模态的影响。设选取的模态阶数为N，式(3)可表示为

从而可得结构表面任意M个测点法向振速为

由式(5)可以看出，通过M个测点法向速度，结合结构空气中的前N阶模态矩阵，如果能求得模态参与因子向量 ［ξ］N×1，则由式(4)可以重构出结构表面的速度场，实现预报水下双层加筋圆柱壳振动和辐射声场的目的。

对于由式(5)确定的线性方程组，当M≥N时，式(5)为超定或恰定方程组，通过最小二乘法或解方程可以得到 ［ξ］N×1的唯一解，但此时测点数目必须大于或等于模态的数目。对于复杂的结构，当振动响应的频率较高时，需要的模态数目较多，此时需要布置较多的传感器，实际中往往难以实行。

相比而言，M＜N更符合实际中常常需要的情况。此时式(5)为欠定方程组，方程的解非唯一，这成为在M＜N的情况下进行速度场预报的难点。由模态叠加原理可知，对于结构在某一频率下的响应，只有少数几阶模态的贡献较大，其他各阶模态对响应的贡献都很小，从而 ［ξ］N×1向量具有一定的稀疏特性。本文的欠定盲分离预报方法正是从 ［ξ］N×1向量自身的稀疏特性出发，从式(5)的所有解中，寻找最接近结构实际振动情况的解。

1.2 欠定盲分离方法

欠定盲分离是信号研究领域里近几年的一个热点问题，主要用来解决式(6)所描述的问题:

向量的稀疏性是指向量的大多数元素为0或接近0，而远大于0的元素个数非常少;向量中远大于0的元素个数越少代表向量越稀疏。式(6)所描述的是1个优化问题:当 ［V］M×1和 ［Φ］M×N已知时，在M＜N的情况下，通过研究 ［ξ］N×1满足的稀疏特性，对 ［ξ］N×1附加稀疏性约束，从等式条件的所有解中，找出满足 ［ξ］N×1向量稀疏特性的最优解。该最优解可作为实际情况的近似解。

数学上向量的0范数l0定义为向量中非零元素的个数，因此可以用向量的0范数l0来对向量的稀疏性进行度量［10］，从而可以将欠定方程组(5)的求解问题转化为

l0范数最小化问题是一个非凸最优化问题，目前为止还没有解决这一问题的有效算法，并且当‖ξ‖0=M时，任何满足约束条件的有M个非零元素的向量 ［ξ］都是式(7)的最优解，从而无法确定最终解。针对这一问题，文献 ［11］指出l0与l1范数解的等价性，利用l1范数代替l0范数，将问题转化为一个凸最优化问题，式(7)可以等价表述为

综合式(6)～式(8)可以看出，利用盲分离的思路，通过 ［ξ］N×1向量具有的稀疏特性，结构速度场的重构问题可以转化为在等式［V］M×1=［Φ］M×N［ξ］N×1条件下，求模态参与因子使其1范数最小的优化问题。式(8)所表述的凸最优化问题的解可以唯一确定，并且对这一类凸最优化问题，目前已有多种成熟的求解方法，如线性规划法［12］、最短路径法［13］和组合算法［14］等，其中线性规划法是一种常用的求解方法。

本文在M＜N的情况下，采用线性规划方法对该优化问题进行求解。由式(8)可以看出，模态选取的阶数、测点的位置及个数都会对式(8)中的等式约束条件产生影响，进而影响到 ［ξ］N×1的解。首先用数值方法对这些影响因素进行分析，在分析的基础上，通过数值和试验方法对水下双层加筋圆柱壳的振动和辐射声场的预报结果进行验证。

2 数值分析

2.1 模型介绍

本文所选用的模型为工程领域里常用的双层圆柱壳结构，具体结构形式如图1所示。双层圆柱壳内径R1=0.425 m;外径R2=0.525 m;长度L=1.05 m;内壳厚度t=4 mm;外壳厚度t2=2 mm;实肋板厚度t3=2 mm;内壳环肋截面尺寸4 mm×33 mm;材料弹性模量E=210 GPa，泊松比μ=0.3，阻尼比ξ=0.005。

2.2 影响预报结果的因素

根据上述的欠定盲分离预报方法，本文首先研究选取的模态阶数对预报结果的影响。考虑到水下双层加筋圆柱壳的测点一般布置在内壳，在双层加筋圆柱壳的内壳均布了24个测点，对24个均布测点由A到C截面依次编号为1～24号，如图1所示。以图1中坐标系为参考坐标系，在声场中确定了2个场点，分别为P(0，6，0.525)和Q(0，10，0.525)。以水下双层加筋圆柱壳的辐射声功率和较远场点Q的场点声压作为评价标准，比较了不同模态阶数对预报结果的影响，结果如图2所示。

经分析可以看出:在0～400 Hz范围内，利用前300，500和700阶模态均可较准确预报出辐射声功率和场点声压;在400～800 Hz范围内，利用前300阶模态预报出的辐射声功率结果偏差较大，利用前500和700阶模态预报出的辐射声功率和场点声压结果较准确。说明预报时所需要的模态阶数与结构振动响应的计算频率有关，计算频率越大，所需要的模态阶数也就越多，当选取的模态包括了对响应贡献最大的几阶模态后，再增加模态的阶数对预报结果的影响不大，这与模态叠加法计算结构响应的原理是一致的。

由图2可看出，利用前500阶模态已经可以较准确重构出0～800 Hz的辐射声场。在保持模态阶数N为500的情况下，本文研究了测点位置的变化对预报结果的影响。分别选取2组测点，一组为图1中的24个均布测点，另一组为24个随机选取的测点，对比结果如图3所示。

由图3可看出，在0～400 Hz的频率范围内，通过24个均布测点预报所得的辐射声功率和场点声压结果与24个随机测点结果相差不大，在400～800 Hz的频率范围内，24个随机测点预报结果的扰动性较大，相比之下，24个均布测点预报出的结果更加稳定。由式(8)可以看出，等式约束条件与所选的测点对应，所选测点越能反映计算频率处整个结构的振动分布情况，则预报的结果越准确，24个均布测点考虑到的位置越全面，越能更好反映0～800 Hz范围内各个计算频率处结构的振动分布情况，预报结果的准确性就更稳定，在布置测点时，建议优先选取均布的方式来布置测点。

在以上分析的基础上，仍取模态阶数为500，进一步研究了测点数目的变化对预报结果的影响。依次选择了12，24和40个测点来进行预报。其中12个测点为图1中1～24号测点中的奇数号点;24个测点为图1中1～24号测点，40个测点为在1～24号测点的基础上在每相邻两档测点的中间又对应均布8个测点所得到的测点。对比结果如图4所示。

图4 24个均布测点和40个均布测点前500阶模态重构结果对比Fig.4 The comparison of reconstruction between twenty-four equispaced measure points and forty equispaced measure points in five hundred modes

由图4可看出，12个测点预报出的辐射声功率和场点声压偏差较大，24个和40个场点预报出的辐射声功率和场点声压较准确，并且40个测点比24个测点能更准确预报出场点声压。说明通过欠定盲分离的方法可以实现较少测点预报辐射声场的目的，并且增加测点的个数可以提高预报的精度。

综合分析图2～图4的结果可以看出，本文提出的欠定盲分离预报方法够通过较少数目的测点对水下双层加筋圆柱壳辐射声场做出预报，并且该方法对模态阶数及测点位置的要求比较宽松，使得该预报方法在实际使用时有一定的灵活性。

2.3 数值预报结果

在上述分析的基础上可以看出，通过24个均布测点和结构的前500阶模态，可以较好地对图1所示的水下双层加筋圆柱壳的辐射声场进行预报。为了进一步验证欠定盲分离方法的预报结果，本文对这一条件下的振动和辐射声场的预报结果进行了综合分析，结果如图5～图8所示。

图5 振速级和声功率级预报结果Fig.5 The reconstruction results of vibration velocity and radiated acoustic power

从图5可以看出，本文方案在0～800 Hz的频率范围内对结构均方振速的预报与数值计算结果吻合得很好，能满足预报精度的要求。对辐射声功率的预报结果，在0～800 Hz频率范围内与数值计算结果基本一致;数值计算结果表明在400～600 Hz范围内辐射声功率有一段较剧烈的波动，而本文方法对这一波动细节的预报能力较差。综合对比均方振速和辐射声功率的结果，本文方法能在满足要求的误差范围内对水下双层加筋圆柱壳均方振速和辐射声功率进行预报。

在以上分析的基础上，本文进一步对水下双层加筋圆柱壳结构辐射声场的场点声压和声压指向性进行了预报。其中，声压对比所选场点为图1中坐标系下的 P(0，6，0.525)和 Q(0，10，0.525)点;声压指向性对比所选的场点位于中垂面内R=50 m的圆周上，选取的预报频率为260 Hz和680 Hz。对比结果如图6和图7所示。从图6可以看出，在0～800 Hz的频率范围内，本文方法能较准确预报出辐射声场中的场点声压随频率的变化情况，重构结果和预报结果吻合得很好。从图7可以看出，在f=260 Hz和f=680 Hz这2个峰值频率处，预报结果能对辐射声场的声压指向做出判断。场点声压和声压指向性的结果说明，在测点数目较少的情况下，利用欠定盲分离方法对水下双层加筋圆柱壳的辐射声场进行预报是可行的。

本文同时对比了f=260 Hz和f=680 Hz频率处前500阶模态的模态参与因子，结果如图8所示。

图8 模态参与因子重构结果Fig.8 The construction results of modal participation facto

从图8可知，在260 Hz和680 Hz的响应峰值频率处，欠定盲分离方法所得的模态参与因子与数值计算结果基本一致，重构结果能找到对响应贡献最大的模态，并且重构出的最大模态参与因子误差在5%以内，说明基于模态参与因子自身的稀疏特性，运用欠定盲分离方法求解模态参与因子是合理的。

3 结语

本文提出一种欠定盲分离的方法并对水下双层加筋圆柱壳结构辐射声场进行预报。数值结果表明该方法的预报结果是可靠的，并且该方法中测点数目和选取的模态阶数相互独立，能实现用较少数目的测点预报结构振动和辐射声场的目的。

同时，本文研究了测点位置、模态阶数和测点数目对欠定盲分离方法预报结果的影响，在测点位置和数目一定时，当所取的模态阶数满足计算频率所需要的模态阶数后，再增加模态阶数对预报结果的影响非常小，这说明本文方法的预报结果在一定范围内不会随模态阶数的变化而出现振荡，具有较好的稳定性。在模态阶数一定时，均布测点和任意位置测点均可以对辐射声场进行预报，说明本文方法对测点位置的要求比较宽松，由于均布测点能更好地反映结构在各个计算频率处的振动分布情况，预报出的结果更稳定，在选取测点的位置时，建议优先采用均布测点的测点布置方式。

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