例谈一元二次方程的审题教学

☉河南省漯河市郾城实验中学 周焕云

审题能力反映了一个人的思维能力，是数学素质的具体体现.审题能力的培养不是一朝一夕就能取得收效的，必须贯穿于整个中学数学的始终，要有计划、有意识地运用科学的方法进行长期的渗透，使学生不断地、经常性地受到启迪，在潜移默化中，逐步领悟，以提高思维能力.在平时的练习、考试中，学生在数学上失分的主要原因是审题不清，审题能力实质上是理解能力，审题过程就是要审清题目的情节内容和数量关系.那么怎么才能避免审题失误呢？结合工作实践，我认为应从二方面去考虑，一方面在日常教学中培养；另一方面在考试前强调.审题能力的培养，必须有目的地渗透在日常教学中.以下谈谈学习一元二次方程时的审题教学.

一、审题要注意条件特点

在解一元二次方程时，要根据方程特点，先择合适、合理、简捷的方法，不要死套公式.

例1解方程x2-3x+2=0.

分析：注意到2=2·2，不难发现方程左边可以分解因式，分解成（x-1）（x-2）=0，

解得x=1或x=2.

二、审题要注意题设成立的条件

审题时，要抓住题中的关键词语，寻找隐含条件.

例2一元二次方程x2-3x-1=0与x2-x+3=0的所有实数根之和为（ ）.

A.2 B.-4 C.4 D.3

错解：由根与系数的关系可知，在方程x2-3x-1=0中x1+x2=3，在方程x2-x+3=0中x1+x2=1，故选择答案C.

分析：本题忽略了方程有两实根的条件b2-4ac≥0，实际上审查题目时要突出两实根的条件，便可意识到必须b2-4ac≥0.

故正确答案应是D.

三、审题时要注意概念的严密性

概念模糊是审题不周的主要因素之一，扩大或者缩小了概念的外延或内涵，均易产生增（漏）解的情况，甚至导致推理错误.

例3关于x的一元二次方程（1-2k）x2-2x-1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.

错解：因方程有两个不相等的实根，

所以b2-4ac＞0，

即（-2）2-4（1-2k）·（-1）＞0.

解之得k＜2.

所以当k＜2时，方程有两个不相等的实根.

分析：本题忽略了二次系数不为零与负数不能开偶次方的条件.

正确解答：b2-4ac＞0，

依题意得1-2k≠0，k+1≥0.

解之得-1≤k＜2且k≠1/2.

四、审题时要注意防止思维的片面性

解题时要善于观察、分析问题，要有较强的应变能力，培养思维的机敏性和广阔性.

例4 当k为何值时，方程（k2-1）x2+2（k+1）x+1=0有实数根？

错解：因方程有实数根.

所以△=4（k+1）2-4（k2-1）＞0，解得k≥-1.

分析：本题没有给出方程的次数，也没有指明方程根的个数，因此应考虑方程为一次方程和二次方程两种情况.

正确解答：（1）当k2-1≠0时，k≠±1.

依题意8k+8≥0.

解得k≥-1.

（2）当k=1时，原方程化为4x+1=0，有一个实数根.

（3）当k=-1时，原方程为0x+1=0，无解.

综上所述可知，当k＞-1时，原方程有实根.

在考试前对学生强调，更加强学生对审题的重视.

1.审题时注意力要高度集中，思维直接指向试题，一定要眼到、手到、心到.在规定时间内高度集中注意力，这是考试基本功之一.这种基本功的训练在于平时.同学们自己在做练习时，包括回家做作业，不妨试试限时完成法，即规定自己在一定的时间内，集中注意力完成练习.不要有停顿，不要喝水，不要说话.

2.审题时可以采用以下几个步骤：（1）第一遍粗读题，使自己大致了解题目的意思.（2）第二遍精读题，要逐字逐句地读，仔细理解题目中各个条件的含义.读的过程中不妨用笔把题目中的重要条件，重要语句划下来，圈出来，以提醒自己，引起重视.（3）第三遍重读题.做完一道习题后应回过头来重新审题，看看哪些数据、关系还没有用上，已用上的用得是否准确；关键词句的理解是否准确、到位；结果是否符合题意，符合生活经验.

3.要学会翻译数学题，别以为只有语言需要翻译，数学同样也需要翻译，就是把大家觉得特别长的题翻译成自己能够理解的简单的语言，把文字性的东西翻译成数学语言，进一步用代数式或者是符号语言来表达，有助于审题.

4.审题时要克服思维定势的影响.考试之前，考生做了大量的题目，考试不可避免地会在某些地方令考生有似曾相识的感觉，这原本是件好事，但学生的思维定式把这变成了一件坏事.有的学生看题还没过半，发现类似的题目老师讲解过，立即兴奋地动笔，有的同学甚至靠记忆老师讲过的解法来依葫芦画瓢，谁知道试题的其他条件、需要求证的结果已经做过变化，错解是必然结果.

总之，教会学生审清题意是致胜的前提.告诉学生“粗心就等于把成功推向你的竞争对手”.因此考试时要细之又细，慎之又慎，滴“分”不漏.审题是合理、正确解题的基础，每一个问题的解决都离不开审题.所谓审题，即了解、熟悉和把握问题，弄清已知和未知的关系，从而获取解题信息，最终达到圆满解题的目的.