GNSS系统中预积分时间内基带信号的功率谱密度研究

黄旭方,陈静开,覃新贤

(广西大学计算机与电子信息学院,南宁 530004)

1 引 言

从等效载噪比和干扰系数的推导过程[1]可看到,干扰系数和码跟踪干扰系数涉及到的信号功率谱是预积分时间内GNSS基带信号的功率谱。因此,在精确估计无线射频干扰时,正确分析GNSS基带信号功率谱密度是评估GPS、Galileo和“北斗”导航系统间无线频率兼容性的关键。目前在进行GNSS无线频率兼容性评估时,由于忽略了接收端预积分时间对基带信号的截断作用在时域上相当于矩形窗乘以伪随机码序列,在频域上相当于sinc函数与伪随机码序列离散谱卷积的事实,导致采用的短码功率谱密度计算方法有错误,这将影响到评估结果的精确性。研究发现,预积分时间长短对功率谱的影响较大,对于导航通道没有数据位的情况,通常为了提高码跟踪精度,预积分时间取值较长,若忽略预积分时间的影响,会对分析结果带来较大误差。文献[2-6]在计算干扰系数时,采用码片的功率谱来代替导航信号的功率谱,在对于码长较短的信号(如C/A码),这种近似方法会产生较大误差甚至是错误的结果。文献[7-9]针对这种情况,提出了码长较短时要考虑数据位对功率谱的影响,码长较长时,可用码片的功率谱包络代替导航信号的实际功率谱。这些文献都没有考虑预积分时间对功率谱的影响,对于需要精确评估射频兼容性的情况,这些研究结果还不充分。针对这些问题,推导预积分时间内GNSS基带信号功率谱的解析式,并验证其正确性。

2 预积分时间内GNSS基带信号的功率谱

考虑到导航通道没有数据位,分预积分时间大于等于和小于伪码周期两种情况,而且预积分时间为伪码周期的整数倍,来推导GNSS基带信号功率谱的解析式。

2.1 情况一

假设预积分时间Tco大于等于伪码周期T,假设码片宽度为 Tc,码长为L,预积分时间内包含K个周期伪码序列,Tco=KLTc,N=KL。因此,可以认为在预积分时间内伪码序列是周期确定的。预积分时间内的基带信号可表示为

式中,wTco(t)是宽度为Tco的矩形窗,信号在预积分时间内被截断等效于加了矩形窗;p(t)是单位幅度的码片波形;cns是伪码序列中的第n个码元,取值为±1。

式(1)的傅里叶变换为

式中,Sw(f)是wTco(t)的傅里叶变换,Sp(f)是 p(t)的傅里叶变换。式(2)最后一部分可以通过变换并求解得

将式(3)代入式(2),得到式(4):

当Tco≥T时,基带信号功率谱解析式为

从上式看到,GS(f)是3个频率函数的乘积。第1个是sinc()函数,伪码在预积分时间内被截断相当于在时域上乘于一个矩形窗,在频域上相当于伪码的线谱与矩形窗的频谱相卷积。伪码的线谱间隔为1/T,与sinc函数卷积后得到一组梳状函数,每个梳齿是一个带宽为(2/Tco)Hz的sinc函数。第2个是S(f),它取决于GNSS信号采用的码片波形,这里假设是矩形赋形。第3个是伪码序列的傅里叶变换,可通过FFT来计算。

2.2 情况二

假设预积分时间小于伪码周期,即在预积分时间内只包含一段伪随机码,信号表示为

式中,yk是伪随机序列中的第k个码元素。用ξ表示一个随机截断伪码的事件,yTco(t,ξ)则是从一组截断的信号集合中随机抽取出来的一段信号,预积分时间内的信号表示为

yTco(t,ξ)的功率谱为

其中:

上式利用了伪码序列的广义周期平稳特性,其统计平均等于时间平均,平均值在所有L个起始位置上进行。式(9)涉及到要与sinc函数卷积和两重求和,运算量非常大,特别是卷积运算。由于sinc函数主要起到平滑功率谱的作用,若在带宽内对功率谱求积分,频率间隔取得足够小(不大于sinc函数的主瓣宽度),它对干扰系数的影响就很小。因此,为了减小功率谱计算的复杂度和运算量,将忽略sinc函数的影响,化简式(7)为

上式的归一化自相关函数为

令 k=m-n,则 m=k+n,-N+1≤k≤N-1,并把yn表示为y(n)以方便理解,式(11)化为

其中:

式中,Rp(τ)是基础码片的自相关函数,RNL(k)和RNR(k)分别是预积分时间内的伪码序列左移和右移的归一化相关函数。

由于每次随机截取的序列会随截取的起始位置不同而有较大差异,有时甚至可能出现前后截取的两段信号是伪码序列中没有重合的两段序列,显然这两段信号的自相关函数会有较大差异。但由于截取是随机的,我们无法获得截取的起始位置,因此只能对随机截取事件取统计平均,虽然这样会带来一定的偏差,但可以从统计的角度来反映实际情况。下面对式(12)求统计平均,利用伪码序列的广义周期平稳特性,其统计平均等于时间平均,而且平均值在所有L个起始位置上进行,式(12)的统计平均为

交换上式的求和顺序,得到

对上式进行傅里叶变换,得到预积分时间内信号的功率谱解析式为

3 仿真验证

在上面的推导中进行了一些假设,得到的解析式与实际功率谱会有一些偏差,这部分将验证偏差在合理范围内。

情况一假设了预相关的起始时间与伪码周期的起始时间刚好重合,而实际情况是预相关的起始时间可能在一个伪码周期内的任何位置,下面进行两组实验来观察引起的偏差有多大,以及预积分时间的长短对信号功率谱和干扰系数有什么影响。取T=1 ms,Tco分别取1 ms和10 ms,码速率为1.023Mchip/s,码长为1 023,伪码序列选用一组m序列,m序列的生成多项式为[1 00 0 0 0 1 1 0 1 1],初相为[1 1 0 0 1 1 1 1 1 1],对m序列进行矩形赋形和BPSK调制,前端带宽为10.23MHz。

图1是起始位置在第237个码片的码序列功率谱在零频附近的放大图。图2是用公式(5)画的功率谱,图3是1 000个随机截取起始位置的码序列的自干扰系数的平均值,图4是用公式(5)计算得到的干扰系数,图1～4是 T=1 ms、Tco=1 ms的仿真结果 ,图5～8是 T=1 ms、Tco=10 ms的仿真结果 。当T=Tco=1 ms时,平均偏差约为0.15 dB。T=1 ms、Tco=10 ms时,平均偏差约为0.3 dB。可见,平均偏差都较小,说明推导结果正确。另外,随着预积分时间与伪码周期的比值增大,用式(5)的功率谱计算得到的干扰系数与实际干扰系数越接近,这是因为预积分时间越长,包含的伪码周期越多,伪随机序列就越接近确定序列;而且预积分时间的长短对干扰系数的大小有很大影响,预积分时间越长干扰系数越大。

图1 功率谱密度,起始位是第237个码元(T=Tco=1 ms)Fig.1 PSD,start in 237 code chip(T=Tco=1 ms)

图2 用公式(6)画的功率谱密度(T=Tco=1 ms)Fig.2 PSD drawn using Equation(6)(T=Tco=1 ms)

图3 平均干扰系数(T=Tco=1 ms)Fig.3 Average interference coefficient(T=Tco=1 ms)

图4 用公式(5)计算得到的干扰系数(T=Tco=1 ms)Fig.4 Interference coefficient calculated using the Equation(5)

图5 功率谱密度,起始位是第960个码元(T=1 ms,Tco=10ms)Fig.5 PSD,start in 237 code chip(T=1 ms,Tco=10 ms)

图6 用公式(5)画的功率谱密度(T=1 ms,Tco=10 ms)Fig.6 PSD drawn using Equation(5)(T=1ms,Tco=10 ms)

图7 用公式(5)计算得到的干扰系数(T=1ms,Tco=10 ms)Fig.7 Interference coefficient calculated using the Equation(5)(T=1ms,Tco=10ms)

图8 平均干扰系数(T=1 ms,Tco=10 ms)Fig.8 Average Interference coefficient(T=1 ms,Tco=10 ms)

情况二忽略了sinc函数的影响,下面通过仿真来观察sinc函数对实际信号的功率谱和干扰系数的影响,以及带来多大偏差。取 T=10 ms,Tco等于1 ms、2 ms和5 ms,码速率为1.023 Mchip/s,码长为10 230,赋形方式为矩形脉冲,调制方式为BPSK,伪随机序列的生成多项式为[1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1],初相为[1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0],前端带宽为5.115 MHz。伪随机序列的生成多项式和初相选用文献[10]提供的GPS L2CM码的PRN1的生成多项式和初相。

图9是Tco=5 ms,截取的起始位置在第19个码片的功率谱;(b)是在零频附近的放大图。图10是用公式(18)画的功率谱,图11是 Tco分别为1 ms、2 ms和5 ms时,对100个随机产生的截取起始位置的自干扰系数求平均。图12是用公式(18)计算得到的干扰系数。当 Tco分别为1 ms、2 ms和5 ms时,sinc函数的主瓣宽度分别为1 kHz、500 Hz和200 Hz,从以上结果看到,图9的谱包络比图10的包络要光滑。另外,当多普勒频移大于sinc函数的主瓣时,图11和图12的干扰系数在-61.5 dB/Hz附近小幅度波动。可见,sinc函数对功率谱的影响,主要起到了平滑作用;sinc函数对干扰系数的影响,随着频移大于sinc函数的主瓣后,影响可忽略。而且,Tco取值越大(但仍小于T),sinc函数对干扰系数的影响越小。推导结果的偏差,除了频移在sinc函数的主瓣宽度之内偏差较大之外,其他地方的偏差约小于0.5 dB。而且,预积分时间越长(但仍小于T),偏差越小。

图9 功率谱,起始位在第19个码元(Tco=5 ms,T=10 ms)Fig.9 PSD,start in 19 code chip(Tco=5 ms,T=10 ms)

图10 用公式(18)画的功率谱密度(Tco=5 ms,T=10 ms)Fig.10 PSD drawn using Equation(18)(Tco=5 ms,T=10 ms)

图11 平均干扰系数(T=10ms,Tco=1,2,5 ms)Fig.11 Average interference coefficient(T=10 ms,Tco=1,2,5 ms)

图12 用公式(18)计算得到的干扰系数(T=10ms,Tco=1,2,5ms)Fig.12 Interference coefficient calculated using the Equation(18)

4 结 论

以上推导的功率谱解析式和仿真结果说明了预积分时间长短对功率谱密度有较大影响,干扰系数随着预积分时间增大而增大。当导航通道的预积分时间较长时,在精确评估无线射频兼容性时,预积分时间的影响不能忽略。下一阶段将研究预积分时间对干扰评估结果的影响,量化反映在GPS、Galileo和“北斗”系统间。

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