各向同性与正交异性材料Ⅲ型界面端应力场

赵 静，李俊林

(太原科技大学应用科学学院，太原030024)

文献[1]得到Ⅰ型和Ⅱ型界面裂纹尖端应力具有振荡奇异性，Ⅲ型裂纹尖端应力具有的奇异性而无振荡性。文献[2]采用Mellin变换法研究了各向同性双材料界面端问题，得出界面端的应力场具有奇异性。文献[3]对各向同性双材料反平面界面端奇异应力场进行了分析，利用位移函数的级数展开，得出了对称类反平面界面端的应力奇异指数变化规律。文献[4]对反平面界面裂纹进行了研究，结果显示反平面问题中界面裂纹尖端应力不存在振荡性，只有幂次奇异。文献[1-3]研究的均是各向同性双材料界面裂纹，文献[5-6]研究的是正交异性双材料界面端，关于各向同性与正交异性双材料界面端奇异应力场尚未研究。本文主要研究各向同性与正交异性双材料界面端这样一个新的模型，并巧妙的采用引入三角函数的方法化简了含奇异指数的特征方程，最终得到了几种各向同性与正交异性双材料Ⅲ型非对称界面端的应力奇异指数及其变化规律。

1 力学模型

图1 任意结合角的各向同性与正交异性双材料Ⅲ型界面端模型Fig.1 The model of isotropic and orthotropic bi-material ModeⅢinterface end with arbitrary angles

如图1所示，x＞0，y=0为材料粘接界面。y＞0部分为各向同性复合材料，其材料工程常数为(G23)1=(G31)1=μ.而y＜0为正交异性复合材料，其材料工程常数为(G23)2，(G31)2.考虑到受反平面剪应力的作用，由弹性力学知，控制方程组为:

其中wj(j=1，2)是位移函数。(Q44)2，(Q55)2是表征材料剪切模量的材料常数。图1的界面连续条件在极坐标下可以表示为:

由弹性力学知相应的应力分量为:

位移分量为:uj= υj=0，wj=wj(x，y)，(j=1，2)，r和θ为从裂纹边缘起度量的极坐标，而常数(G23)1=(G31)1= μ，(G44)2=(G23)2，(G55)2=(G31)2，其中 μ，(G23)2，(G31)2为剪切模量。

2 应力函数

假设位移为wj=wj(x+sjy)，(j=1，2)，带入式(1)得到特征方程组为:

这个方程组中的两个方程分别有一对共轭虚根，取虚部大于零的根记为:

sj=iβj，(j=1，2).其中

由复变函数中zj平面的柯西-黎曼方程理论，若记zj=x+sjy=xj+iyj，于是得到xj=x，yj= βjy.则控制方程组可以化为:

这是zj平面的调和方程组，由方程组(1)选取合适的应力函数如下:

根据文献[5-6]，将式(7)和式(8)代入式(3)后再代入边界边界条件(2)得到关于(a1，a2，b1，b2)的四元齐次线性方程组:

要使该齐次线性方程组有一组非零解，则系数行列式为零，又通过引入φ角，

利用三角函数公式得到特征方程为:

2.1 非对称凸角界面端

图2 各向同性与正交异性双材料Ⅲ型凸角界面端Fig.2 The model of isotropic and orthotropic bi-material ModeⅢconvex-angled interface end

以图2所示情形为例，将θ1=π/4，θ2=-π/2，φ2=-π/2，φ=-π/2.代入特征方程式(11)中，可得:

用三倍角公式展开并且化简得:

解得:

λ 在(-1，0)之间，

图3 各向同性与正交异性双材料Ⅲ型凸角界面端λ随材料参数比变化规律图Fig.3 The variation chart of λ with the ratio of material parameters

2.2 非对称凹角界面端

图4 各向同性与正交异性双材料Ⅲ型凹角界面端Fig.4 The model of isotropic and orthotropic bi-material ModeⅢconcave-angled interface end

以图4所示情形为例，将θ1=π/3，θ2=-π，φ2=-π，φ=-π.代入特征方程中得:

化简得:

解得:

λ 在(-1，0)之间，因此:

图5 各向同性与正交异性双材料Ⅲ型凹角界面端随材料参数比变化规律图Fig.5 The variation chart of λwith the ratio of material parameters

2.3 斜平面角界面端

当 0 ＜ θ1＜ π/2，θ2= θ1- π，φ2=arctan(β2tanθ1)-π，代入特征方程式(11)得:

其中，

图6 各向同性与正交异性双材料Ⅲ型斜平面角界面端模型Fig.6 The model of isotropic and orthotropic bi-material ModeⅢoblique-plane-angled interface end

图7 θ1=π/3，π/4，π/5时λ随材料参数比变化图Fig.7 The variation chart of with the ratio of material parameters(θ1=π/3，π/4，π/5时 )

(1)当分别取定 θ1=π/3，θ2=θ1-π =-2π/3(data1)，θ1= π/4，θ2= θ1- π =-3π/4(data2)和θ1=π/5，θ2=θ1-π =-4π/5(data3)时，根据参考文献[9]中的材料参数，选取 β2=1.186 3，得到 λ 随各向同性与正交异性材料参数比的变化规律如图7所示。

(2)根据文献[9]，当分别取定材料参数比μ/选取β2=1.186 3，得到λ随各向同性与正交异性斜平面角界面端角度(0＜θ1＜π/2)的变化规律如图8所示。

图8 λ随凹角θ1变化Fig.8 The variation chart of λ with θ1

从图7中可以得出，当界面端角度θ1取定三种角度时，各向同性与正交异性双材料Ⅲ型斜平面角界面端应力场随参数比的增大，奇异性增大，奇异指数介于0到-0.5之间;当θ1减小θ2增大，即向材料二正交异性材料倾斜时，界面端应力场奇异性增大。从图8中可以得出，当材料参数比取定三组数值时，各向同性与正交异性双材料Ⅲ型斜平面角界面端应力场奇异性随界面端角度θ1的增大先增大后减小，当θ1=π/2时，可以推出已有的直角界面端不存在应力奇异性的结果。

同理，当 π/2 ＜ θ1＜ π，θ2= θ1- π，φ2=arctan(β2tanθ1)时的斜平面角界面端应力奇异指数变化规律也可以得到。

3 应力场、位移场与应力强度因子的计算

以非对称类凸角界面端为例给出应力场、位移场、应力强度因子，其他情形用同样方法可得。

其中b2为自由变量，可以由载荷条件求出。

应力强度因子:

定义

则

4 结论

通过对各向同性与正交异性双材料Ⅲ型非对称凸角、凹角以及斜平面角界面端的讨论可知:非对称凸角界面端无应力奇异性，随着上下材料常数比的增长，奇异指数λ趋于0;非对称凹角界面端应力具有唯一幂次奇异性，随着μ/的增长，奇异指数λ由-0.25逐渐趋于-0.65，并以非对称凸角界面端为例给出各向同性与正交异性双材料Ⅲ型凸角界面端应力场、位移场以及应力强度因子的解析表达式;得到了斜平面角界面端应力奇异性变化规律。

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