全 等 三 角 形 创新题例析

☉江苏省建湖县实验初中教育集团汇文校区 曾 琴

全等三角形是初中生必须掌握的三角形两大知识点之一.三角形全等为解决线段相等、角相等的问题提供了重要工具，也是各省市中考的热门内容.近些年来出现了很多新颖别致的试题以及新编制的练习题，引起师生的关注.现举例解析.

例1如图1，在△ABC与△DCB中，AC=DB，要使△ABC≌△DCB，则还需增加一个条件是_________.

解析：由AC=DB，BC=CB，要使△ABC≌△DCB，可根据SSS添加AB=DC，或根据SAS添加∠ACB=∠DBC等.

点评：本题是一道条件开放题，具有答案不唯一的特点，在添加条件时，要结合图形挖掘隐含的公共角、公共边、对顶角等条件.

例2如图2，在△ABC与△DEF中，给出下列六个条件：（1）AB=DE；（2）BC=EF；（3）AC=DF；（4）∠A=∠D；（5）∠B=∠E；（6）∠C=∠F，以其中三个条件为已知，不能判断△ABC与△DEF全等的是（ ）.

图2

A.（1）（2）（5）B.（1）（2）（3）

C.（1）（4）（6）D.（2）（3）（4）

解析：结合图形，运用全等三角形识别方法逐一分析：A答案可用SAS判定△ABC与△DEF全等；B答案可用SSS判定△ABC与△DEF全等；C答案可用AAS判定△ABC与△DEF全等.故应选D.

点评：此题考查了全等三角形识别的方法，设题十分巧妙.必须吃透全等三角形每一个识别方法的含义，以及结合图形思考，方能正确解题.此题中体现了数形结合的思想，如本题D答案的条件是两边及一角对应相等，由图形可知，并不是这两边的夹角对应相等，它用的是“边边角”，故不能判断△ABC与△DEF全等.

例3已知点E、F在△BAC的边AB所在的直线上，且AE=BF，FH∥EG∥AC，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H，G.

（1）如图3，如果点E、F在边AB上，那么EG+FH=AC；

（2）如图4，如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是_________；

（3）如图5，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是_______.

图3

图4

图5

对图3～图5三种情况的结论，请任选一个给予证明.

解析：这是一道运动型探索题，要求同学们认真观察图形的变化，并通过类比法进行合理地猜想，再通过推理论证的思维方法进行论证.（2）应填EG+FH=AC；（3）应填EG-FH=AC.

证明（2）：如图6，过点E作EP∥BC交AC于P.因为EG∥AC，所以四边形EPCG为平行四边形，所以EG=PC.

因为FH∥EG∥AC，所以∠A=∠F，∠FBH=∠ABC=∠AEP.

又因为AE=BF，所以△BHF≌△EPA，所以HF=AP，

所以AC=PC+AP=EG+HF，即EF+FH=AC.

点评：解答此类问题的策略是：从已知开始，层层演绎推理，后一问可用前一问的结论，直至结论的推出.请同学们探讨一下（3）的证明.

例4阅读下题及证明过程：

已知：如图7，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB＝EC，∠ABE＝∠ACE.

求证：∠BAE＝∠CAE.

证明：在△AEB和△AEC中，

所以△AEB≌△AEC，（第一步）

所以∠BAE＝∠CAE（.第二步）

图7

问上面的证明过程是否正确，若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程.

解析：上面的证明过程是错误的，错在第一步.正确证明如下：

因为EB＝EC，所以∠1＝∠2.

又∠ABE＝∠ACE，所以∠ABC＝∠ACB.

所以AB＝AC.

所以△ABE≌△ACE，所以∠BAE=∠CAE.

点评：这是一道阅读纠错题，解答时，应认真阅读题目和解题过程的每一步，依据概念、定理、公式、法则等作出判断，并按要求写出正确的解题过程.