U－I图像中交点意义的解释

杭庆祥

（江宁高级中学，江苏 南京 211100）

在研究恒定电流电路时，U－I图像既是电流与电压变化关系一种形象直观的表达方式，更可以成为我们研究、解决问题的方法和手段，特别对一些非线性变化的问题（如本文的问题2），利用图像及其交点的意义是解决问题的唯一方法，但对交点意义的诠释仿佛有着只能意会，难以言传的困难，是教学一大难点.本文努力对U－I图像中交点意义做出解释.

1 “舍近求远”的做法及其原因

例1.如图1所示的U－I图像中，直线I为某电源的路端电压与电流的关系，直线Ⅱ为某一电阻R的伏安特性曲线，用该电源直接与电阻R连接成闭合电路，电源的输出功率为多少？

解法1：绝大多数学生会这样求解.

由曲线Ⅰ得电源电动势、内阻分别为E＝3.0V，r＝1.5Ω.由曲线Ⅱ得R＝1.5Ω.当电阻R接在电源两端时，由欧姆定律，可求得U＝1.5V，I＝1.0A.则电源的输出功率为P＝UI＝1.5W.

解法2：少数学生会直接从图上读出R两端的电压和通过的电流U＝1.5V，I＝1.0A.电源的输出功率为P＝UI＝1.5W.

当我们直接用第2种解法时，学生都会问：当电阻R接在电源两端时，为什么它两端的电压和通过的电流刚好是图中交点坐标值？是一种巧合，还是一种必然？有时，老师也很茫然.

实际上，交点的意义我们可以这样解释：

曲线Ⅰ表示电源的路端电压U随电流I变化的关系，即 U＝E－Ir. （1）

曲线Ⅱ表示电阻R两端电压U′随电流I′变化的关系，即 U′＝I′R. （2）

当把R接在电源两端时，U和U′，I和I′是同一的，那么，什么样的电压和电流既符合函数关系（1），又符合函数关系（2）？

在数学上就是联解方程组：

学生也知道这个方程组的解就是图像中两条曲线的交点.

所以，第1种解法实际上是求方程组解的过程细分，而绝非“舍近求远”.它物理图景明晰，逻辑思维清楚，是一种本源的做法，在我们进行基础年级的教学时，首先应帮助学生建立这样一种明晰的物理图景和思考顺序，万万不可因学生解法不是最简洁而求全责备，而第2种解法必定要经过第1种解法完全相同的思考，是在第1种方法基础上的抽象.

图1

2 循序渐进 能力提升

在学生有了上面问题解决的基础之后，我们再进行下面的练习，巩固并深化学生对U－I图像交点意义的认识.

例2.如图2所示，图甲为某学生测绘额定电压为2.5V小灯泡的I－U图线实验电路图，图乙为小灯泡的I－U图线，把小灯泡连接在电动势为3V，内阻为10Ω电源两端，小灯泡消耗的功率为多少？

图2

首先，由图像乙可知，小灯泡的电阻是随电流或电压的变化而变化的，且电流和电压的函数表达式不知，因此不能够用上文中的第1种方法列方程求解，那么，如何求得小灯泡的电流和电压？

其次，要帮助学生认识到函数的图像也是一种表示变化规律的方式，也即图乙给出了小灯泡电流随电压变化的关系.

第三，给定电源的路端电压随电流的变化关系为U＝E－Ir，要求学生在图丙中画出此函数的图像.

第四，小灯泡接在电源两端时，小灯泡两端电压和电源路端电压、通过小灯泡的电流和通过电源电流是相同的，是U－I图像上的一个坐标点.

第五，问小灯泡接在电源两端时，满足两个变化关系的电压和电流的点在哪？

问题迎刃而解.特别要指出的是，有些教师在没有进行本文例1的讨论时，就进行例2的教学，不光是教学上的囫囵吞枣，更是对U－I图像交点数学、物理意义的不理解.同时，在解释U－I图像交点物理意义时，借助学生对数学函数方程的认识及对应图像交点意义是问题的关键，局限在原地思考是此问题百思不得其解的原因.