解剖算子及其一致有界定理

2012-07-06刘铁，郑亮

重庆理工大学学报(自然科学) 2012年3期

刘铁，郑亮

(1.安康学院数学系，陕西安康 725000;2.哈尔滨工业大学深圳研究生院，深圳 518055)

1 预备知识

闭图像定理、开映射定理和等度连续定理是泛函分析的三大基本原理。上述经典泛函分析基本定理过分依赖线性算子，使其应用性受到很大限制，因而许多学者在研究包括某些非线性影射在内的更大的函数类上建立三大基本定理。尤其是李容录教授在解剖算子上进行的泛函分析基本原理拓展取得了重大进展。本文对解剖算子在实数空间上进行讨论，得出一些相关性质。

定义1［1-2］对 φ∈C(0)及 U∈N(X)，称 f:X→Y 为解剖算子，若 f(0)=0，且对 x∈X，u∈U 及|t|≤1，有 r，s∈C，使|r-1|≤|φ(t)|，|s|≤|φ(t)|，f(x+tu)=rf(x)+sf(u).记 Fφ，U(X，Y)为由 φ∈C(0)及 U∈N(X)确定的解剖算子全体。

关于解剖算子，有如下几个基本函数空间［3-5］:

3)S={f:f是定义在R上的无限可微的速降函数}，则由范数列k≥0，p，q∈N 使 S 成为局部凸的 Fréchet空间。

命题1 若 f∈Fφ，U(X，Y)，u∈U，|t|≤1，则有 s∈C，|s|≤|φ(t)|，使 f(tu)=sf(u)。

证明由定义 f(0)=0，取 x=0 和上述的 u，存在 r，s∈C，使|r-1|≤|φ(t)|，|s|≤ |φ(t)|，f(x+tu)=f(tu)=rf(0)+sf(u)=sf(u)。

命题2 若 f:X→Y 是线性算子，则 f∈Fφ，U(X，Y)，∀φ∈C(0)，U∈N(X)。

证明f:X→Y是线性算子(∀x，u∈X，t∈K，

则f(0+0)=f(0)+f(0)(f(0)=0。要使f(x+tu)=rf(x)+sf(u)，可令其减去式(1)，f(x+tu)-［f(x)+tf(u)］=(r-1)f(x)+(s-t)f(u)，只要|r-1|≤|φ(t)|，|s-t|≤2|φ(t)|即可

可令，s=t，r=1 即有|r-1|≤|φ(t)|，|s|≤|φ(t)|，f(x+tu)=f(x)+tf(u)=rf(x)+sf(u)，所以 f∈Fφ，U(X，Y)。

例1 若‖·‖:X→R 是半范，则对 φ(t)=t，‖·‖∈Fφ，X(X，R)。

证明对于x，u∈X及 t∈C，‖x‖ -|t|‖u‖≤‖x+tu‖≤‖x‖ +|t|‖u‖，所以有 s∈［-|t|，|t|］，使得‖x+tu‖ = ‖x‖ +s‖u‖，即对 φ(t)=t，‖·‖∈Fφ，X(X，R)。

例2 若(X，‖·‖)是半范空间，对任意连续线性算子T:X→Y定义连续的非线性映射为，则对

证明若 x∈X，u∈U，|t|≤1，则‖x+tu‖ =‖x‖ +s‖u‖，其中 s∈［-|t|，|t|］，所以 fT(x+tu)=而

2 解剖算子的性质

(X，d)是可度量的拓扑线性空间，Fφ，U(X，Y)为由 φ∈C(0)及 U∈N(X)确定的解剖算子全体，记Bφ，U(X，Y)={f∈Fφ，U(X，Y):f(x)连续}，若 U={x∈X:d(X，0)＜ δ}，φ(t)=Ct，其中 C≥1，则记Fφ，U(X，Y)=FC，δ(X，Y)，Bφ，U(X，Y)=BC，δ(X，Y)，对 C≥1 及 δ＞ 0 记 EC，δ(X，Y)={f∈FC，δ(X，Y):对x，u∈X，d(u，0)≤δ及|t|≤1∃标量 s∈|s|≤C|t|，f(x+tu)=f(x)+sf(u)}

定理1 若 f∈Fφ，U(R，R)，则 f(x)连续，即 Bφ，U(R，R)=Fφ，U(R，R)。

证明有 δ＞0，使［-δ，δ］⊂U，设 x→x in R，∃N 当 n＞N 时

n，所以f(xn)→f(x)(n→∞)。

定理2 f∈Fφ，U(R，R)若 f≠0，则 f(u)≠0∀0≠u∈U。

证明假设0≠u∈U且f(u)=0任取0≠x∈R，取定n使得，存在 ri，si∈R(i=1，2，…，n)，使得，且